2024届新高考--多元变量问题的最值处理技巧.pdf

【典型例题】多元变量问题的最值处理技巧1+z

222

1(2024·河北唐山·统考二模)已知正数x,y,z满足x+y+z=1，则S=2xyz的最小值为

33+1

A.3B.C.4D.22+1

2

【答案】C

【解析】由题意可得，0<z<1,0<1-z<1

z+1-z211

∴z1-z≤=(当且仅当z=1-z即z=时取等号)

242

222

∵x+y+z=1

222

∴1-z=x+y≥2xy(当且仅当x=y时取等号)

21-z1+z

1-z

∴≥1即≥1

2xy2xy

1+z1

∵1-z>0∴≥

2xy1-z

1+z161

∴≥≥4(当且仅当x=y=,z=时取等号)

2xyzz1-z42

1+z

则S=的最小值4

2xyz

2221+z1

2(2024·浙江杭州·高三杭十四中阶段练习)已知正数x,y,z满足x+y+z=1，则S=+的最小

xyz

值是()

A.2+32B.3+22C.3+23D.4+32

【答案】B

222222

【解析】∵x+y+z=1,∴1-z=x+y≥2xy(当且仅当x=y时取等号)

21-z2

∴1-z≥2xy,∴≥2

xy

2221+z2

又因为已知正数x,y,z满足x+y+z=1，所以0<z<1即≥

xy1-z

1+z1212