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河南省开封市兰考县第三高级中学2023年高三实战模拟考试数学试题
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设命题p:1,n22n,则p为()
A. B.
C. D.
2.已知复数,其中为虚数单位,则()
A. B. C.2 D.
3.“完全数”是一些特殊的自然数,它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28不在同一组的概率为()
A. B. C. D.
4.已知函数,则下列结论中正确的是
①函数的最小正周期为;
②函数的图象是轴对称图形;
③函数的极大值为;
④函数的最小值为.
A.①③ B.②④
C.②③ D.②③④
5.已知等差数列中,则()
A.10 B.16 C.20 D.24
6.复数的共轭复数在复平面内所对应的点位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.设等差数列的前项和为,若,,则()
A.21 B.22 C.11 D.12
8.小王因上班繁忙,来不及做午饭,所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12:00~12:10之间随机到达小王所居住的楼下,则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是()
A. B. C. D.
9.已知直线过圆的圆心,则的最小值为()
A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图,平面与平面相交于,,,点,点,则下列叙述错误的是()
A.直线与异面
B.过只有唯一平面与平行
C.过点只能作唯一平面与垂直
D.过一定能作一平面与垂直
11.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术:“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高,计算其体积的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()
A. B. C. D.
12.如图是计算值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是()
A.
B.
C.
D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.展开式中,含项的系数为______.
14.已知复数(为虚数单位)为纯虚数,则实数的值为_____.
15.函数在上的最小值和最大值分别是_____________.
16.如图是一个算法的伪代码,运行后输出的值为___________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在平面直角坐标系中,已知向量,,其中.
(1)求的值;
(2)若,且,求的值.
18.(12分)已知椭圆的离心率为,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知动直线l过右焦点F,且与椭圆C交于A、B两点,已知Q点坐标为,求的值.
19.(12分)如图,在三棱柱中,是边长为2的等边三角形,,,.
(1)证明:平面平面;
(2),分别是,的中点,是线段上的动点,若二面角的平面角的大小为,试确定点的位置.
20.(12分)如图,在四棱锥P—ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,BD⊥DC,△PCD为正三角形,平面PCD⊥平面ABCD,E为PC的中点.
(1)证明:AP∥平面EBD;
(2)证明:BE⊥PC.
21.(12分)某地为改善旅游环境进行景点改造.如图,将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通(道路不计宽度),l1和l2所在直线的距离为0.5(百米),对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5(百米)(其中A为抛物线的顶点,抛物线的对称轴垂直于l3,且交l3于M?),在堤岸线l3上的E,F两处建造建筑物,其中E,F到M的距离为1?(百米),且F恰在B的正对岸(即BF⊥l3).
(1)在图②中建立适当的平面直角坐标系,并求栈道AB的方程;
(2)游客(视为点P)在栈道AB的何处时,观测EF的视角(∠EPF)最大?请在(1)的坐标系中,写出观测点P的坐标.
22.(10分)已知抛物线,
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