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河南省扶沟二中2023年高三第一次诊断性数学试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数x,y满足约束条件,若的最大值为2,则实数k的值为()
A.1 B. C.2 D.
2.如图,矩形ABCD中,,,E是AD的中点,将沿BE折起至,记二面角的平面角为,直线与平面BCDE所成的角为,与BC所成的角为,有如下两个命题:①对满足题意的任意的的位置,;②对满足题意的任意的的位置,,则()
A.命题①和命题②都成立 B.命题①和命题②都不成立
C.命题①成立,命题②不成立 D.命题①不成立,命题②成立
3.已知,是函数图像上不同的两点,若曲线在点,处的切线重合,则实数的最小值是()
A. B. C. D.1
4.已知函数,若关于的方程有且只有一个实数根,则实数的取值范围是()
A. B.
C. D.
5.已知向量,且,则m=()
A.?8 B.?6
C.6 D.8
6.已知集合,则()
A. B.
C. D.
7.已知实数、满足不等式组,则的最大值为()
A. B. C. D.
8.函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为()
A. B. C. D.
9.若实数、满足,则的最小值是()
A. B. C. D.
10.已知,,,则的最小值为()
A. B. C. D.
11.双曲线C:(,)的离心率是3,焦点到渐近线的距离为,则双曲线C的焦距为()
A.3 B. C.6 D.
12.如图,双曲线的左,右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.如图,半圆的直径AB=6,O为圆心,C为半圆上不同于A、B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则的最小值为.
14.已知是夹角为的两个单位向量,若,,则与的夹角为______.
15.已知双曲线的左右焦点分别为,过的直线与双曲线左支交于两点,,的内切圆的圆心的纵坐标为,则双曲线的离心率为________.
16.已知全集,,则________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)若,且,求证:;
(2)若时,恒有,求的最大值.
18.(12分)已知数列的通项,数列为等比数列,且,,成等差数列.
(1)求数列的通项;
(2)设,求数列的前项和.
19.(12分)(某工厂生产零件A,工人甲生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为,工人乙生产一件零件A,是一等品、二等品、三等品的概率分别为.己知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
(1)试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏;
(2)为鼓励工人提高技术,工厂进行技术大赛,最后甲乙两人进入了决赛.决赛规则是:每一轮比赛,甲乙各生产一件零件A,如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件,则该方得分1分,另一方得分-1分,如果两人生产的零件A品级一样,则两方都不得分,当一方总分为4分时,比赛结束,该方获胜.Pi+4(i=4,3,2,…,4)表示甲总分为i时,最终甲获胜的概率.
①写出P0,P8的值;
②求决赛甲获胜的概率.
20.(12分)在多面体中,四边形是正方形,平面,,,为的中点.
(1)求证:;
(2)求平面与平面所成角的正弦值.
21.(12分)如图,已知在三棱锥中,平面,分别为的中点,且.
(1)求证:;
(2)设平面与交于点,求证:为的中点.
22.(10分)已知,函数.
(1)若函数在上为减函数,求实数的取值范围;
(2)求证:对上的任意两个实数,,总有成立.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义,求出最优解,转化求解即可.
【详解】
可行域如图中阴影部分所示,,,要使得z能取到最大值,则,当时,x在点B处取得最大值,即,得;当时,z在点C处取得最大值,即,得(舍去).
故选:B.
【点睛】
本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想,分类讨论是解题的关键,属于中档题.
2、A
【解析】
作出二面角的补角、线面角、线线角的补
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