半角模型专题专练.docx

半角模型例题

已知，正方形ABCD中，∠EAF两边分别交线段BC、DC于点E、F，且∠EAF﹦45°结论1：BE﹢DF﹦EF

结论2：S ﹢S ﹦S

△ABE

结论3：AH﹦AD

△ADF

△AEF

结论4：△CEF的周长﹦2倍的正方形边长﹦2AB结论5：当BE﹦DF时，△CEF的面积最小

结论6：BM2﹢DN2﹦MN2

结论7：三角形相似，可由三角形相似的传递性得到结论8：EA、FA是△CEF的外角平分线

结论9：四点共圆

结论10：△ANE和△AMF是等腰直角三角形（可通过共圆得到）

结论11：MN﹦√2EF（可由相似得到）

2

结论12：S△AEF﹦2S△AMN（可由相似的性质得到）结论5的证明：

设正方形ABCD的边长为1

则S ﹦1﹣S﹣S﹣S

△AEF 1 2 3

﹦1﹣1x﹣1y﹣1(1﹣x)(1﹣y)

2 2 2

﹦1﹣1xy

2 2

所以当x﹦y时，△AEF的面积最小结论6的证明：

将△ADN顺时针旋转90°使AD与AB重合

∴DN﹦BN′

易证△AMN≌△AMN′

∴MN﹦MN′

在Rt△BMN′中，由勾股定理可得：BM2﹢BN′2﹦MN′2

即BM2﹢DN2﹦MN2

结论7的所有相似三角形：

△AMN∽△DFN △AMN∽△BME △AMN∽△BAN △AMN∽△DMA △AMN∽△AFE

结论8的证明：

因为△AMN∽△AFE

∴∠3＝∠2

因为△AMN∽△BAN

∴∠3＝∠4

∴∠2＝∠4因为AB∥CD

∴∠1＝∠4

∴∠1＝∠2结论9的证明：

因为∠EAN﹦∠EBN＝45°

∴A、B、E、N四点共圆（辅圆定理：共边同侧等顶角）

同理可证C、E、N、F四点共圆A、M、F、D四点共圆

C、E、M、F四点共圆

**必会结论 图形研究正方形半角模型

已知：正方形 ABCD，E、F分别在边BC、CD上，且

?EAF?45?，AE、AF分别交BD于H、G，连EF.

一、全等关系

求证：①DF?BE?EF；②DG2﹢BH2﹦HG2；③AE平分?BEF，AF平分?DFE.二、相似关系

求证：①CE? 2DG；②CF? 2BH；③EF? 2HG.

BE DF 1

求证：④AB2?BG?DH；⑤AG2?BG?HG；⑥

三、垂直关系

? .

CE CF 2

求证：①AG?EG；②AH?FH；③tan?HCF?

（5)、和差关系

求证：①BG?DG? 2BE；②AD?DF? 2DH；

③|BE?DF|? 2|BH?DG|.

AB.

BE

例1、在正方形ABCD中，已知∠MAN﹦45°，若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，

①.试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.

②.求证：AB=AH.

例2、在四边形ABCD中，∠B+∠D﹦180°，AB=AD，若E、F分别在边BC、CD上，且满足EF=BE+DF.

求证：∠EAF＝1∠BAD

2

例3、在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=120°，若BD=5，CE=8，求DE的长。

例4、请阅读下列材料：

已知：如图1在Rt?ABC中，?BAC?90?，AB?AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若?DAE?45?．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．

小明的思路是：把?AEC绕点A顺时针旋转90?，得到?ABE?，连结E?D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：

猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；

当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．

A A

CB D E C D B E

C

图1 图2

例5、探究：

如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ；

如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别

1

是边BC、CD上的点，且∠EAF=

2

明，若不成立，请说明理由；

∠BAD”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证

在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋