数学建`模课堂练习.doc

第一次课堂练习

1、设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.

2、设位于坐标原点的甲舰向位于轴上点处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度〔是常数〕沿平行于轴的直线行驶，导弹的速度是，求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？

3、某商品的需求函数与供应函数分别为:

与,

其中均为正常数,而商品价格又是时间的函数.假设初始条件为,且在任一时刻,价格的变化率总与这一时刻的超额需求成正比〔比例常数为〕.

〔1〕求供需相等时的价格〔即均衡价格〕;

〔2〕求价格函数;

〔3〕分析价格函数随时间的变化情况.

第二次课堂练习

1、假设银行年利率为，现存入元，试分析银行的利率分别按年复合、季复合、月复合、日复合及连续复合时:

〔1〕年后,总金额的计算公式;

〔2〕当,元时,算出年后,本息合计分别为多少?

〔3〕连续复合时,总金额所满足的微分方程.

2、在某池塘内养鱼,该池塘内最多能养1000尾,设在时刻该池塘内鱼数为是时间〔月〕的函数,其变化率与鱼数及的乘积成正比〔比例常数为〕.在池塘内放养鱼100尾,个月后池塘内有鱼250尾,试求:〔1〕在时刻池塘内鱼数的计算公式;〔2〕放养个月后池塘内又有多少尾鱼?

3、某银行帐户,以连续复利方式计息,年利率为,希望连续年以每年万元人民币的速率用这一帐户支付职工工资,假设以年为单位,试写出余额所满足的微分方程,且问当初始存入的数额为多少时,才能使年后账户中的余额精确地减至.

1、设一容器内原有100L盐,内含有盐10kg,现以3L/min的速度注入质量浓度为0.01kg/L的淡盐水,同时以2L/min的速度抽出混合均匀的盐水,求容器内盐量变化的数学模型.

解设时刻容器内的盐量为kg,考虑到时间内容器中盐的变化情况,在时间内

容器中盐的改变量注入的盐水中所含盐量－抽出的盐水中所含盐量

容器内盐的改变量为,注入的盐水中所含盐量为,时刻容器内溶液的质量浓度为,假设到时间内容器内溶液的质量浓度不变〔事实上,容器内的溶液质量浓度时刻在变,由于时间很短,可以这样看〕.于是抽出的盐水中所含盐量为,这样即可列出方程

,

即

.

又因为时,容器内有盐kg,于是得该问题的数学模型为

这是一阶非齐次线性方程的初值问题,其解为

.

下面对该问题进行一下简单的讨论,由上式不难发现:时刻容器内溶液的质量浓度为

,

且当时,,即长时间地进行上述稀释过程,容器内盐水的质量浓度将趋于注入溶液的质量浓度.

溶液混合问题的更一般的提法是：设有一容器装有某种质量浓度的溶液,以流量注入质量浓度为的溶液〔指同一种类溶液,只是质量浓度不同〕,假定溶液立即被搅匀,并以的流量流出这种混合溶液,试建立容器中质量浓度与时间的数学模型.

首先设容器中溶质的质量为,原来的初始质量为,=0时溶液的体积为,在d时间内,容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量,即

,

其中是流入溶液的质量浓度,为时刻容器中溶液的质量浓度,于是,有混合溶液的数学模型

该模型不仅适用于液体的混合,而且还适用于讨论气体的混合.

2、设位于坐标原点的甲舰向位于轴上点处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大的速度〔是常数〕沿平行于轴的直线行驶，导弹的速度是，求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？

解法一〔解析法〕

假设导弹在时刻的位置为，乙舰位于。由于导弹头始终对准乙舰，故此时直线就是导弹的轨迹曲线弧在点处的切线，即有

即

〔1〕

又根据题意，弧的长度为的5倍，即

〔2〕

由(1),(2)消去整理得模型：

〔3〕

初值条件为：，。解即为导弹的运行轨迹：

当时，即当乙舰航行到点处时被导弹击中。被击中时间为：。假设,那么在处被击中。

解法二(数值解)

令，，将方程〔3〕化为一阶微分方程组。

1〕建立m-文件eq1.m

functiondy=eq1(x,y)

dy=zeros(2,1);

dy(1)=y(2);

dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);

2〕取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下：

x0=0，xf=0.9999

[x,y]=ode15s(eq1,[x0xf