新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步微专题3二面角的常见求法教师用书新人教A版必修第二册.docVIP

微专题3二面角的常见求法

求二面角是常见题型，根据所求两面是否有公共棱可分为两类：有棱二面角、无棱二面角，对于前者的二面角通常采用找点，连线或平移等手段来找出二面角的平面角；而对于无棱二面角，一般通过构造图形如延展平面或找公垂面等方法使其“无棱”而“现棱”，进一步找二面角的平面角．

类型1定义法求二面角

方法：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角．

【例1】如图，在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，求二面角V-AB-C的大小．

[解]如图，取AB中点O，连接VO，CO.∵在三棱锥V-ABC中，VA＝VB＝AC＝BC＝2，AB＝23，VC＝1，

∴VO⊥AB，CO⊥AB，

∴∠VOC是二面角V-AB-C的平面角．

∵VO＝VA

CO＝BC

∴VO＝CO＝VC＝1，△VOC为等边三角形，

∴∠VOC＝60°，

∴二面角V-AB-C的大小为60°.

类型2三垂线法求二面角

方法：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角．

【例2】如图，在三棱锥S-ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ABC＝90°，SA＝AB，SB＝BC.

(1)证明：平面SBC⊥平面SAB；

(2)求二面角A-SC-B的平面角的正弦值．

[解](1)∵∠SAB＝∠SAC＝90°，

∴SA⊥AB，SA⊥AC.

又AB∩AC＝A，AB、AC?平面ABC，

∴SA⊥平面ABC.

又BC?平面ABC，∴SA⊥BC.

又AB⊥BC，SA∩AB＝A，SA、AB?平面SAB，

∴BC⊥平面SAB.

又BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAB.

(2)取SB的中点D，连接AD，则AD⊥SB，

由(1)知平面SBC⊥平面SAB，平面SBC∩平面SAB＝SB，AD?平面SAB，

∴AD⊥平面SBC.

又SC?平面SBC，所以SC⊥AD.

作AE⊥SC，垂足为点E，连接DE，

因为AE∩AD＝A，AE、AD?平面ADE.

所以SC⊥平面ADE.

又DE?平面ADE，则DE⊥SC，

则∠AED为二面角A-SC-B的平面角．

设SA＝AB＝2a，则SB＝BC＝22a，AD＝2a

由题意得AE＝3a，

在Rt△ADE中，sin∠AED＝ADAE

∴二面角A-SC-B的平面角的正弦值为63

类型3垂面法求二面角

方法：过二面角内一点A作AB⊥α于B，作AC⊥β于C，平面ABC交棱a于点O，则∠BOC就是二面角的平面角．

【例3】如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大小．

[解]∵SB＝BC且E是SC的中点，

∴BE是等腰三角形SBC底边SC的中线，∴SC⊥BE.

又SC⊥DE，BE∩DE＝E，BE，DE?平面BDE，

∴SC⊥平面BDE，∴SC⊥BD.

又SA⊥平面ABC，BD?平面ABC，

∴SA⊥BD，而SC∩SA＝S，SC，SA?平面SAC，

∴BD⊥平面SAC.

∵平面SAC∩平面BDE＝DE，

平面SAC∩平面BDC＝DC，

∴BD⊥DE，BD⊥DC，

∴∠EDC是所求二面角的平面角．

∵SA⊥底面ABC，∴SA⊥AB，SA⊥AC.

设SA＝2，则AB＝2，BC＝SB＝22.

∵AB⊥BC，∴AC＝23，∴∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC，∴∠EDC＝60°.

即所求的二面角等于60°.

类型4射影面积法

方法：已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S射影，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cosθ＝S射影

这个方法对于无棱二面角的求解很简便．

以多边形射影为三角形为例证明，其它情形可自证．

证明：如图，平面β内的△ABC在平面α的射影为△A′BC，作AD⊥BC于D，连接A′D.

∵AA′⊥α于A′，D∈α，

∴AD在α内的射影为A′D.

∵AA′⊥α，又BC?α，∴AA′⊥BC，又AD⊥BC，

AD∩A′A＝A，AD，A′A?平面AA′D，

∴BC⊥平面AA′D，又A′D?平面AA′D，

∴A′D⊥BC.

∴∠ADA′为二面角α-BC-β的平面角．

设△ABC和△A′BC的面积分别为S和S′，∠ADA′＝θ，则S＝12BC·AD，S′＝12BC·A′

∴cosθ＝A

【例4】在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝a，求平面PBA与平面PCD所成二面角的大小．

[解]如图，∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PA⊥AD，又AD⊥AB，且PA