新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.5空间直线平面的平行8.5.3平面与平面平行教师用书新人教A版必修第二册.docVIP

8.5.3平面与平面平行

学习任务

借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，平面与平面平行的性质定理，并加以证明．(直观想象、数学抽象、逻辑推理)

如图，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的．

知识点1平面与平面平行的判定定理

文字语言

如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行

符号语言

a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α

图形语言

如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？

[提示]不一定．如图，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交.

知识点2平面与平面平行的性质定理

文字语言

两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行

符号语言

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b

图形语言

思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面α∥平面β，α∩γ＝a，平面β∩平面γ＝b?a∥b. ()

(2)平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β?a∥b. ()

[答案](1)√(2)×

类型1平面与平面平行的判定

【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．

求证：(1)E，F，B，D四点共面；

(2)平面MAN∥平面EFDB.

[证明](1)连接B1D1，

∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，

∴EF∥B1D1．

而BD∥B1D1，∴BD∥EF.

∴E，F，B，D四点共面．

(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.

又MN?平面EFDB，BD?平面EFDB.

∴MN∥平面EFDB.

连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，

∴MF∥A1D1，MF＝A1D1．

∴MF∥AD且MF＝AD.

∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.

又AM?平面BDFE，DF?平面BDFE，

∴AM∥平面BDFE.

又∵AM∩MN＝M，

∴平面MAN∥平面EFDB.

平面与平面平行的判定方法

(1)定义法：两个平面没有公共点．

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．

(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.

(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

[跟进训练]

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.

[证明]∵E，G分别是PC，BC的中点，

∴EG∥PB，

又∵EG?平面PAB，PB?平面PAB，

∴EG∥平面PAB，

∵E，F分别是PC，PD的中点，

∴EF∥CD，又∵AB∥CD，

∴EF∥AB，∵EF?平面PAB，AB?平面PAB，

∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，

∴平面PAB∥平面EFG.

类型2平面与平面平行的性质

【例2】如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.

(1)求证：AC∥BD；

(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．

[解](1)证明：∵PB∩PD＝P，

∴直线PB和PD确定一个平面γ，

则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.

又α∥β，∴AC∥BD.

(2)由(1)得AC∥BD，则PAAB

又PA＝4，AB＝5，PC＝3．

∴45＝3CD，∴

故PD＝PC＋CD＝274

[母题探究]

若点P在平面α与β之间，其它条件不变．

(1)求证：AC∥BD；

(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．

[解](1)[证明]如图，∵PB∩PD＝P，

∴PB，PC确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.

又α∥β，

∴AC∥BD，

(2)由(1)得AC∥BD，∴△PAC∽△PBD，

∴PAPB＝PC

又PA＝4，AB＝5，PC＝3．

∴45-4＝3

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

[跟进训练]

2．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G.

求证：ABBC

[证明]连接AG交β于H，连接BH，FH，AE，CG.

因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，

所以BH∥CG.同理AE∥HF，

所以ABBC

所以ABBC

类型3平行关系的综合应用

【例3】如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.

[证明]因为BE∥AA1，AA1?平面AA1D，

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