必修五基本不等式讲义.docx

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一、基本不等式：

基本不等式

ab?a?b

ab

2

a?b?

ab2

ab

1、重要不等式：a2＋b2≥2ab(a、b∈R) 当且仅当“a＝b”时“＝”成立。

注意：（1）不等式成立的条件是“a＝b”，如果a、b不相等，则“＝”不成立；（2）不等

式的变形 ：①ab≤a2?b2 ②ab≤(

2

a?b

)2

)

2

a2?b2

③

2

a?b

≥(

2

)2≥ab

④2(a2＋b2)≥(a＋b)2

2、基本不等式：a?b≥

ab2

ab

(a、b∈R＋) 当且仅当“a＝b”时“＝”成立。

注意：（1）内容：a＞0，b＞0，当且仅当“a＝b”时“＝”成立；（2）其中a?b叫做正

2

ab数a、b的算术平均数， 叫做正数a、b的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小

ab

于它们的几何平均数。

例1：求证对于任意实数a，b，c，有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时等号成立。

【证明】：∵ a2＋b2≥2ab c2＋b2≥2bc a2＋c2≥2ac

∴2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac ，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

当且仅当a＝b＝c时等号成立。

ab变式练习1：若0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2 ，2ab，a2＋b2中最大

ab

的一个是（ ）

A：a2＋b2 B：2

abC：2ab D：a＋b

ab

变式练习2：下列不等式：（1）x＋1≥2；（2）｜x＋1｜≥2；（3）若0＜a＜1＜b，则

x x

logab＋logba≤－2；（4）若0＜a＜1＜b，logab＋logba≥2。其中正确的是 。

2

均值不等式推广： ≤

a?b

aba2

ab

a2?b2

2

1?1 2

a b

调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数当仅且当“a＝b”时“＝”成立。

二、最值定理

已知x、y都是正数。

如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2

S2

如果和x＋y就定值S，那么x＝y时，积xy有最大值

，即x＋y≥2 ；

Pxy，即xy≤(x?y)2。

P

xy

4 2

利用基本不等式必须满足三个条件：“一正”、“二定”、“三取等”。

应用一：求最值

12

例2：已知函数f(x)＝3x＋

x

(x≠0)

3x?12x当x＞0时，求函数的最值；（2）当

3x?12

x

12

【解析】：（1）当x＞0时，f(x)＝3x＋ ≥2

x

＝12

当且仅当3x＝

12

，即x＝2时，“＝”成立。

x

12

（2）当x＜0时，－x＞0，f(x)＝3x＋ ＝－(－3x＋

12

)≤－2

≤－12，

3x

3x?12

x

当且仅当－3x＝－

x

x ?x

时，即x＝－2时，“＝”成立。

变式练习：求下列函数的最值

（1）y＝3x2＋

1

2x2

1

y＝x＋

x

应用二：凑项

5 1

例3：已知x＜4，求函数f(x)＝4x－2＋4x?5的最大值。

?【解析】：解：因4x?5?0，所以首先要“调整”符号，又(4x?2)对4x?2要进行拆、凑项，

?

1 不是常数，所以

4x?5

x?5,?5?4x?0，?y?4x?2?

4

1

4x?5

???5?4x?

1 ??3??2?3?1

?5?4x

?

当且仅当5?4x?

1

5?4x

? ?

，即x?1时，上式等号成立，故当x?1时，y

?1。

max

变式练习1：f(x)＝

1

x?3

＋x(x＞3)的最小值为 。

【解析】：当，即x＝2时取等号 当x＝2时，y?x

【解析】：

当

，即x＝2时取等号 当x＝2时，y?x(8?2x)的最大值为8。

变式练习1：设0?x?

，求函数y?4x(3?2x)的最大值。

32

3

【解析】：∵0?x?

3∴3?2x?0

2

? ?∴y?4x(3?2x)?2?2x(3?2x)?2?2x?3?2x?2?9

? ?

? 2 ? 2

2x?3?2x, x?3??0,3?

当且仅当

即 ? ?时等号成立。

24? ?

2