新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2第2课时线面垂直的性质与空间距离教师用书新人教A版必修第二册.docVIP

第2课时线面垂直的性质与空间距离

学习任务

1．理解直线与平面垂直的性质定理．(数学抽象、逻辑推理)

2．理解空间距离相关定义并会求相应的距离．(数学抽象、数学运算)

如图，是我们比较熟悉的广场中的路灯．

问题：(1)灯杆与水平面有什么样的位置关系？

(2)灯杆与灯杆之间有什么样的位置关系？

(3)由此你能得出什么结论？

知识点1直线与平面垂直的性质定理

文字语言

垂直于同一个平面的两条直线平行

符号语言

a⊥αb⊥

图形语言

在长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直线与平面ABCD位置关系如何？这两条直线又有什么样的位置关系？

[提示]棱AA′，BB′所在直线都与平面ABCD垂直；这两条直线互相平行．

知识点2空间距离

1．过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．

2．一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．

3．如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，则直线AB到平面A1B1C1D1的距离为______；平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离为________．

[答案]24

类型1线面垂直性质定理的应用

【例1】如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：MN∥AD1．

[证明]因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D.

又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，所以CD⊥AD1．

因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.

又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．

证明线线平行常用的方法

(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．

(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线．

(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．

(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．

(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．

[跟进训练]

1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a?β，a⊥AB.求证：a∥l.

[证明]因为EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.

同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.

因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，

又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.

由线面垂直的性质定理，得a∥l.

类型2空间中的距离问题

【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，AB⊥BC，∠ADC＝45°，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝1，AD＝3,求点D到平面PBC的距离．

[思路导引]点D到平面PBC的距离转化化归点A到平面PBC的距离．

[解]法一(几何法)：因为AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.

于是点D到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离．

如图，在平面PAB内作AH⊥PB交PB于点H.

因为PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，

所以PA⊥BC.

又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，

PA?平面PAB，AB?平面PAB，

所以BC⊥平面PAB，

而AH?平面PAB，所以BC⊥AH.

又PB∩BC＝B，且PB?平面PBC，

BC?平面PBC，所以AH⊥平面PBC.

即AH为点A到平面PBC的距离．

在直角三角形PAB中，AB＝AP＝1，故PB＝2，

由S△PAB＝12PB×AH

得AH＝PA×

即点A到平面PBC的距离为22

所以点D到平面PBC的距离为22

法二(等体积转化法)：因为AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.

于是点D到平面PBC的距离可转化为点A到平面PBC的距离，设为h，

连接AC(图略)，则V三棱锥A-PBC＝V三棱锥P-ABC，即13×S△PBC×h＝13×S△ABC×

因为PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，BC?平面ABCD，

所以PA⊥AB，PA⊥BC.

又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB.

又PB?平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC是直角三角形．

又∠ADC＝45°，AB＝AP＝1，AD＝3，所以BC＝2,PB＝2，

所以h＝12

则点D到平面PBC的距离为22

空间中距离的转化

(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距离、面面距离的定义，转化为直线或平面上的另