新教材同步备课2024春高中数学第8章立体几何初步8.4空间点直线平面之间的位置关系8.4.1平面教师用书新人教A版必修第二册.docVIP

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系

8.4.1平面

学习任务

1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．(数学抽象、直观想象)

2．掌握关于平面基本性质的三个基本事实．(数学抽象、逻辑推理)

3．会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．(逻辑推理)

生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？

知识点1平面

平面的描述性概念

几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的

画法

水平

放置

常把平行四边形的一边画成横向

竖直

放置

常把平行四边形的一边画成竖向

记法

(1)

用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内

(2)

用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD

(3)

用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示，如平面AC，平面BD

1．课桌面、黑板面、海面是平面吗？

[提示]虽然课桌面、黑板面、海面给我们以平面的形象，但是平面是无限延展的，所以它们不是平面．

2．我们常用平行四边形表示平面，所以平行四边形就是一个平面，这句话对吗？

[提示]不对，我们通常用平行四边形表示平面，但平面是无限延展的，所以平行四边形不是一个平面．

3．几何中的平面有什么特点？

[提示](1)平面是平的；(2)平面是没有厚度的；(3)平面是无限延展而没有边界的．

知识点2点、直线、平面之间的位置关系

(1)直线在平面内的概念：如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内．

(2)直线、平面都可以看成点的集合．点P在直线l上，记作P∈l；点P在直线l外，记作P?l；点P在平面α内，记作P∈α；点P在平面α外，记作P?α；直线l在平面α内，记作l?α；直线l不在平面α内，记作l?α．

4．“线段AB在平面α内，直线AB不全在平面α内”这一说法是否正确？为什么？

[提示]不正确．∵线段AB在平面α内，∴线段AB上的所有点都在平面α内，∴线段AB上的A，B两点一定在平面α内，∴直线AB在平面α内．

知识点3平面的基本事实及推论

(1)基本事实

基本事实

内容

图形

符号

基本事实1

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α

基本事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α

基本事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l

(2)基本事实的推论

推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(图①)．

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．

5．经过三点有多少个平面？

[提示]当三点不共线时，由基本事实1可知，经过这三点有且只有一个平面．而当三点共线时，经过这三点有无数个平面．

6．三个基本事实各有什么作用？

[提示](1)基本事实1是确定平面的依据．

(2)基本事实2是判断直线在平面内的依据．

(3)基本事实3可以①判定两个平面相交；②作两个平面的交线；③证明点共线或线共点．

如图，点A________平面ABC；点A______平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________．

[答案]∈??BC

类型1立体几何三种语言的相互转化

【例1】用符号表示下列语句，并画出图形．

(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；

(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．

[解](1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．

(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图．

三种语言的转换方法

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

(2)要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”．

[跟进训练]

1．用符号语言表示下列语句，并画出图形．

(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；

(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．

[解](1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图①．

(2)符号语言表示：