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浙江省宁波市东恩中学2023届高三下第一次阶段性检测试题数学试题
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.正项等比数列中的、是函数的极值点,则()
A. B.1 C. D.2
2.斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点,则的最大值为
A.2 B. C. D.
3.小王因上班繁忙,来不及做午饭,所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12:00~12:10之间随机到达小王所居住的楼下,则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是()
A. B. C. D.
4.若、满足约束条件,则的最大值为()
A. B. C. D.
5.已知抛物线的焦点为,过焦点的直线与抛物线分别交于、两点,与轴的正半轴交于点,与准线交于点,且,则()
A. B.2 C. D.3
6.已知抛物线的焦点为,对称轴与准线的交点为,为上任意一点,若,则()
A.30° B.45° C.60° D.75°
7.已知向量,则向量在向量方向上的投影为()
A. B. C. D.
8.一场考试需要2小时,在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为()
A. B. C. D.
9.执行如图所示的程序框图,则输出的()
A.2 B.3 C. D.
10.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()
A. B. C. D.
11.已知数列为等比数列,若,且,则()
A. B.或 C. D.
12.设,,则“”是“”的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在平面直角坐标系中,曲线上任意一点到直线的距离的最小值为________.
14.已知函数图象上一点处的切线方程为,则_______.
15.抛物线的焦点到准线的距离为.
16.已知实数,满足则的取值范围是______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在直三棱柱中,,点P,Q分别为,的中点.求证:
(1)PQ平面;
(2)平面.
18.(12分)设函数,.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)时,若,,求证:.
19.(12分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析,决定从本班24名女同学,18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析.
(1)如果按照性别比例分层抽样,可以得到多少个不同的样本?(写出算式即可,不必计算出结果)
(2)如果随机抽取的7名同学的数学,物理成绩(单位:分)对应如下表:
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
数学成绩
60
65
70
75
85
87
90
物理成绩
70
77
80
85
90
86
93
①若规定85分以上(包括85分)为优秀,从这7名同学中抽取3名同学,记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为,求的分布列和数学期望;
②根据上表数据,求物理成绩关于数学成绩的线性回归方程(系数精确到0.01);若班上某位同学的数学成绩为96分,预测该同学的物理成绩为多少分?
附:线性回归方程,
其中,.
76
83
812
526
20.(12分)如图,在四棱锥中,四边形是直角梯形,底面,是的中点.
(1).求证:平面平面;
(2).若二面角的余弦值为,求直线与平面所成角的正弦值.
21.(12分)已知,,求证:
(1);
(2).
22.(10分)设复数满足(为虚数单位),则的模为______.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据可导函数在极值点处的导数值为,得出,再由等比数列的性质可得.
【详解】
解:依题意、是函数的极值点,也就是的两个根
∴
又是正项等比数列,所以
∴.
故选:B
【点睛】
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用,属于中档题.
2、C
【解析】
设出直线的方程,代入椭圆方程中消去y,根据判别式大于0求得t的范围,进而利用弦长公式求得|AB|的表达式,利用t的范围求得|AB|的最
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