新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积第1课时向量数量积的概念及性质教师用书新人教A版必修第二册.docVIP

6.2.4向量的数量积

第1课时向量数量积的概念及性质

学习任务

1．了解向量的数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．(数学抽象)

2．掌握向量的数量积的定义及投影向量．(数学抽象)

3．会计算平面向量的数量积．(数学运算)

大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ．

问题：该大力士所做的功是多少？

知识点1向量的数量积

1．两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．

当θ＝0时，向量a，b同向；

当θ＝π时，向量a，b反向；

当θ＝π2时，向量a与b垂直，记作a⊥b

1．如何作出向量a与b的夹角？

[提示]

2．平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ．

规定：零向量与任一向量的数量积为0．

2．把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？

[提示]不可以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，一定要严格，必须写成“a·b”的形式．

3．投影向量

设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称这种变换为向量a向向量b投影，A1B

3．如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么OM1与e，a，θ

[提示]OM1＝|a|cosθ

知识点2向量数量积的性质

设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则

(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ．

(2)a⊥b?a·b＝0．

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|．

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝a·

(4)|a·b|≤|a||b|．

4．若a·b＝0，则a⊥b一定成立吗？

[提示]不一定，也可能a＝0或b＝0．

5．a·b的符号与两向量的夹角有何关系？

[提示]a·b<0，由a·b＝|a||b|cosθ可知，两向量的夹角是钝角或180°．而a·b>0时，由a·b＝|a||b|cosθ可知，两向量的夹角是锐角或0°．

1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝()

A．－32B．－62C．62D．2

B[a·b＝|a||b|cos135°＝3×4×-22＝－62

2．若向量a，b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角为________．

[答案]120°

3．已知|a|＝5，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影向量为________．

15a[向量b在a

(|b|cosθ)aa＝2×cos60°×15a＝15

类型1定义法求向量的夹角

【例1】已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？

[解]如图所示，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°．

以OA，OB为邻边作?

则OC＝a＋b，BA＝a－b．

因为|a|＝|b|＝2，

所以?OACB是菱形，

又∠AOB＝60°，

所以OC与OA的夹角为30°，BA与OA的夹角为60°．

即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°．

求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．

[跟进训练]

1．如图，已知△ABC是等边三角形．

(1)求向量AB与BC的夹角；

(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．

[解](1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°．

如右上图，延长AB至点D，使BD＝AB，则AB＝BD，所以∠DBC为向量AB与BC的夹角．

因为∠ABC＝60°，

所以∠DBC＝120°，

所以向量AB与BC的夹角为120°．

(2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，

所以向量AE与EC的夹角为90°．

类型2平面向量的数量积运算

【例2】如图，在?ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°，求：

(1)AD·BC；(2)AB·DA．

[解](1)因为AD∥BC，且方向相同，

所以AD与BC的夹角是0°，

所以AD·BC＝|AD||BC|·cos0°＝3×3×1＝9．

(2)因为AB与AD的夹角为60°，

所以AB与DA的夹角为120°，

所以AB·DA＝|AB||DA|·cos120°

＝4×3×-12＝－

定义法求平面向量的数量积

(1)求模：即分别求|a|和|b|．

(2)求夹角：尤其注意向量a与b的方向．

(3)求数量积：