中国石油大学（华东）《大学物理》课件-第三章.pptx

刚体的转动惯量

几种典型的质量分布（dm为质元）：

刚体对转轴的转动惯量：刚体中每个质元的质量与该质元到转轴距离的平方的乘积的总和。

SI单位：

kg.m2

若质量连续分布：

若质量离散分布：

（质点，质点系）

刚体的转动惯量

刚体的转动惯量

例题1质量为m，半径为R的均匀圆环，试求其对中心轴的转动惯量。

解设圆环的质量线密度为λ，则

在圆环上任取一微元dl，则

根据转动惯量的定义，则

刚体的转动惯量

例题2质量为m、半径为R的均匀薄圆盘，试求其对中心轴的转动惯量。

解设圆盘的质量面密度为σ，则

在距离圆心O点为r处取长为dr，宽为rdθ的面元，则

根据转动惯量的定义，则

刚体的转动惯量与刚体的质量分布、形状、大小和转轴的位置有关。

刚体的转动惯量

例题3试求质量为m、长为L的均匀细棒对于通过其上一点O并于棒垂直的轴的转动惯量。

取O点为坐标原点。在距O点为x处取微元，则

解设均匀细棒的质量线密度为λ，则

刚体的转动惯量

平行轴定理

若有任一轴与过质心的轴平行，且两轴相距为d，刚体对该轴的转动惯量为J，则有：

两轴平行；

JC为刚体绕质心轴的转动惯量;

d为两平行轴间距离。

例题4计算均匀圆盘对O轴的转动惯量。

解均匀圆盘对其过质心的转轴的转动惯量为：

根据平行轴定理：

作用在刚体上的力矩

作用在刚体上的力矩

作用在刚体上的力矩

无法使刚体绕Oz轴转动

可以使刚体绕Oz轴转动

作用在刚体上的力矩

结论：只有在转动平面内且不通过转轴的力对刚体对转轴的力矩有贡献。

刚体的定轴转动定律

刚体的定轴转动定律

将刚体看作质点系时，刚体运动规律符合质点系的角动量定理

定轴转动的刚体所受的对转轴的合外力矩等于刚体对该轴的转动惯量与其角加速度的乘积。

刚体的定轴转动定律

对于定轴转动的刚体

刚体的定轴转动定律

①转动定律适用条件：刚体定轴转动，固定轴为惯性系，力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。

③选定转轴的正方向，以确定力矩或角加速度、角速度的正负。

应用刚体的定轴转动定律时应注意的问题

④当系统中既有转动物体，又有平动物体时，用隔离法解题。对转动物体应用转动定律建立方程，对平动物体则用牛顿第二定律建立方程。

②Mz一定：作用不同刚体上，Jz大，β小，转速不易改变，转动惯性大；反之，Jz小，转动惯性小。

转动惯量是物体转动惯性大小的量度。

刚体的定轴转动定律

例题1质量为m1、半径为R的定滑轮可绕轴自由转动，一质量为m2的物体悬挂于绕过滑轮的细绳上。求：物体m2的下落加速度a和滑轮转动的角加速度β。

联立（1、2）解得：

关联方程

解隔离滑轮和物体分别进行受力分析。

对m2分析受力，取向下为正方向。

由转动定律

由牛顿运动定律

例题2一轻绳跨过定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，m1＞m2。设滑轮的质量为M，半径为R，忽略摩擦。绳与滑轮之间无相对滑动。求物体的加速度。

解隔离滑轮和物体分别进行受力分析。由于m1＞m2，则m1向下加速运动，m2向上加速运动，滑轮逆时针转动。规定物体运动方向为正方向。

对滑轮分析力矩；由转动定律：

对m1、m2分析受力。由牛顿第二定律：

关联方程

联立解得

刚体的定轴转动定律

刚体的定轴转动定律

刚体的角动量定理

刚体的角动量定理

刚体→质点系(由无限多个质元构成的连续体)

质点系的角动量定理

定轴转动的刚体的角动量定理

作用在刚体上的对转轴的合外力矩等于刚体绕该轴的角动量随时间的变化率。

质点系对某一参考点的角动量随时间的变化率等于系统所受的对该点的合外力矩。

某一时间内作用在刚体上的合外力的冲量矩等于刚体在该时间内角动量的增量。

若刚体定轴转动时，转动惯量保持不变，则

刚体的角动量定理

例题一细棒长为l，质量为m，质量密度λ与到O点的距离成正比，将细棒放在粗糙的水平面上，使棒绕O点转动，棒的初始角速度为ω0，棒与桌面的摩擦系数为μ。求:1）细棒对O点的转动惯量。2）细棒从以ω0开始转动到停止所经历的时间。

解1）在离O点r处取微元dr，则：

刚体的角动量定理

2）设细棒上距O点r处长dr的线元所受的摩擦力为df；它对O点的摩擦力矩为dM。选逆时针方向为正。

由