新教材同步备课2024春高中数学第7章复数7.2复数的四则运算7.2.2复数的乘除运算教师用书新人教A版必修第二册.docVIP

7.2.2复数的乘、除运算

学习任务

1．掌握复数的乘法和除法运算．(数学运算)

2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(逻辑推理)

3．掌握在复数范围内解方程的方法．(数学运算)

怎样规定两个复数的乘除运算，才能使在复数集中的乘法、除法与原实数集中的有关规定内容？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？

知识点1复数的乘法

1．复数代数形式的乘法法则

已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i．

2．复数乘法的运算律

对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

z1z2＝z2z1

结合律

(z1z2)z3＝z1(z2z3)

乘法对加法的分配律

z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

知识点2复数的除法法则

(a＋bi)÷(c＋di)＝ac+bdc2+d2＋bc-adc2+d2i(a，b

(1)复数的乘法与多项式的乘法有何不同？

(2)|z|2＝z2，正确吗？

[提示](1)复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．

(2)不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1．

(1)1i＝________

(2)1+i1-

(3)1-i1+

[答案](1)－i(2)i(3)－i

类型1复数代数形式的乘法运算

【例1】(源自湘教版教材)计算：

(1)(1＋2i)(4－3i)；

(2)(1＋i)2；

(3)(1－i)2；

(4)(1＋i)1000．

[解](1)(1＋2i)(4－3i)

＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)

＝4－3i＋8i－6i2

＝4－3i＋8i－6×(－1)

＝10＋5i．

(2)(1＋i)2＝12＋2·1·i＋i2＝1＋2i－1＝2i．

(3)(1－i)2＝12－2·1·i＋i2＝1－2i－1＝－2i．

(4)由(2)得，(1＋i)1000＝[(1＋i)2]500

＝(2i)500

＝2500·i500

＝2500·1

＝2500．

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等．

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2(a，b∈R)．

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．

(3)(1±i)2＝±2i．

[跟进训练]

1．(1)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()

A．(－∞，1) B．(－∞，－1)

C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)

(2)计算：①(2＋3i)(2－3i)＝________；

②(－2－i)(3－2i)(－1＋3i)＝________．

(1)B(2)①13②5－25i[(1)z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，

因为对应的点在第二象限，

所以a+10，1-a0，解得a

(2)①(2＋3i)(2－3i)＝22－(3i)2＝22－(－9)＝13．

②原式＝(－6＋4i－3i＋2i2)(－1＋3i)

＝(－8＋i)(－1＋3i)＝8－24i－i＋3i2＝5－25i．]

类型2复数代数形式的除法运算

【例2】(源自北师大版教材)计算：

(1)-12i；(2)1+2i

[解](1)-12i＝-

(2)1+2i2-3i＝1+2i2+3i

(3)1+i1-i6＝1+i21

1．根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘分母的共轭复数，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．

2．设z1，z2都是复数，则|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝z1z2

[跟进训练]

2．(1)(2022·全国甲卷)若z＝－1＋3i，则zzz-1

A．－1＋3i B．－1－3i

C．－13＋33i D．－13

(2)(多选)若复数z＝21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是(

A．z的虚部为－1

B．|z|＝2

C．z2为纯虚数

D．z的共轭复数为－1－i

(1)C(2)ABC[(1)∵z＝－1＋3i，

∴z·z＝|z|2＝(-12+(3

则zzz-1＝-1+3i4-

(2)z＝21+i＝21-i1+i

对于A，z的虚部为－1，正确；

对于B，模长|z|＝2，正确；

对于C，因为z2＝(1－i)2＝－2i，故z2为纯虚数，正确；

对于D，z的共轭复数为1＋i，错误．]

类型3在复数范围内解方程

【例3】在复数范围内解下列方程．

(1)x2＋5＝0；

(2)x2＋4x＋6＝0．

[解](1)因为x2＋5＝0