北京市第十三中学2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题.docx

北京市第十三中学2023~2024学年第一学期

高二数学期中测试

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页；第Ⅱ卷第2页至第4页，答题纸第1页至第3页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸上侧密封线内书写班级?姓名?准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸交回.

第I卷（选择题共40分）

一?选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.）

1.直线的倾斜角为（）

A.B.C.D.

2.已知向量，则的位置关系是（）

A.垂直B.平行C.异面D.不确定

3.已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（）

A.B.C.D.

4.圆与圆的位置关系为（）

A.外离B.外切C.相交D.内切

5.已知直线.若，则实数的值是（）

A.0B.2或-1C.0或-3D.-3

6.已知点是圆上一点，则点到直线的距离的最小值为（）

A.0B.1C.2D.3

7.已知直线与圆交于两点，且（其中为坐标原点），则实数等于（）

A.2B.C.2或-2D.或

8.如图，在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（）

A.B.C.D.1

9.已知方程，对于该方程所表示的曲线给出下列结论，结论正确的是（）

A.曲线仅有两条对称轴

B.曲线经过5个整点

C.曲线上任意一点到原点距离不小于

D.曲线围成的封闭图形面积不超过2

10.已知两点，若直线上至少存在三个点，使得是直角三角形，则实数的取值范围是（）

A.B.C.D.

第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二?填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分.）

11.已知，则线段的中点坐标是__________.

12.经过点且与直线垂直的直线方程为__________.

13.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是__________.

14.在空间直角坐标系中，已知点，则直线与所成角的大小是__________.

15.已知，以为斜边的直角，其顶点的轨迹方程为__________.

16.已知点，点在圆上，则的取值范围是__________；若与圆相切，则__________.

17.已知四棱锥的高为和均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论：

①四棱锥可能为正四棱锥；

②空间中一定存在到五个点距离都相等的点；

③可能有平面平面；

④四棱锥的体积的取值范围是.

其中所有正确结论的序号是__________.

三?解答题：（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.如图，在直三棱柱中，分别为的中点

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

19.已知圆过原点和点，圆心在轴上.

（1）求圆的方程；

（2）直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程.

20.如图，四边形为梯形，，讦边形为平行四边形.

（1）求证：平面；

（2）若平面，，求：

（i）直线与平面所成角的正弦值；

（ii）点到平面的距离.

21.如图，在长方体中，分别是棱的中点.

（1）请判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：若不存在，说明理由.

22.已知圆为过点且斜率为的直线.

（1）若与圆相切，求直线的方程；

（2）若与圆相交于不同的两点，是否存在常数，使得向量与共线？若存在，求的值：若不存在，请说明理由.

北京市第十三中学2023~2024学年第一学期

高二年级数学期中测试答案

一?选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

A

B

B

C

C

C

C

D

B

二?填空题（共7小题，每小题5分，共35分）

11.12.13.14.

15.16.；17.①②④

三?解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

18.（1）连接，因为分别为的中点，所以

在三棱柱中，.所以四点共面.

因为分别为的中点，所以.

所以四边形为平行四边形.所以.因为平面平面，所以平面.

（2）由题设平面，所以.因为，

所以两两垂直.如图建立空间直角坐标系.

所以.

.平面的一个法向量是

设平面的法向量为，

则即

令，则.于是，设二面角的平面角为，

则，由图可知为锐角，所以.

19.（1）设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得

从而圆的半径为，所以圆的方程为