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数学中的“特殊与一般”思想方法

在数学学习的过程中，对公式、定理、法则的学习往往都是从特殊开始，通过总结归纳得出来的，

经过证明后，成为一般性结论，又使用它们来解决相关的数学问题。在数学中经常使用的归纳法、演绎

法就是特殊与一般思想的集中体现。由特殊到一般、由一般到特殊的过程是认识事物的基本过程，数学

也不例外。所谓特殊与一般的思想包括两个方面：通过对某些个体的认识与研究，逐渐积累对这类事物

的了解，再逐渐形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成公式，由浅入深，由现象到本

质，由局部到整体，从实践到理论，这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程；在理论指导

下，用已有的规律解决这类事物中的新问题，这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。由特

殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程。

在数学高考中，对特殊与一般思想的考查方式主要有，利用一般的归纳法进行猜想；通过构造特殊

函数、特殊数列、寻求特殊点、特殊位置关系；利用特殊值、特殊方程等，研究解决一般问题、抽象问

题、运动变化的问题、不确定的问题，等等。高考特别注重利用选择题、填空题的特点，重点考查由特

殊到一般的思想；利用解答题的严密性，重点考查由一般到特殊的思想，或综合考查特殊与一般的思

想。

一．利用特殊情形判断一般性结论是否成立

辩证法告诉我们：矛盾的一般性寓于特殊性之中。相对于一般情形而言，特殊的事物往往显得简

单、直观和具体，并为人们所熟知。解题时若能注意到问题的特殊性，进而分析考虑有无可能把待解决

问题化归为某个特殊问题或极端情形，不仅是可行的，也是必要的。

例1．（2005年北京春季高考题）若不等式(1)na2(1)n1对于任意正整数n恒成立，则实数a

n

的取值范围是（）

A[2,3)B(2,3)C[3,3)D(3,3)

2222

a222

解析：当n为正奇数时，不等式为1，又1，所以要使不等式对任意正奇数n恒成

nn

立，应有a2，即a2；

a21,23

当n为正偶数时，不等式为，又111，所以要使不等式对任意正偶数n恒成

nn2n2

立，应有a3。综合得，答案为（A）。

2

点评：本题所给的不等式对于n为正奇数和n为正偶数来说差异较大，所以需要对两种特殊情况进

行分类讨论。这两种情形相对于正整数n是两个个体，回到整体后，使不等式恒成立的a必须对两个个体

都成立。

例2（2004年湖北高考题）已知a,b,c为非零的平面向量.甲：abac，乙:bc,则（）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析：若bc，则必有abac；现在，取a(1,1),b(1,0),c(0,1)，则abac=1，但

bc。由此可见，甲是乙的必要条件但不是充分条件，选（B）。

点评：在本题中bcabac，这对于使bc的每一个个体也就是整体都成立；而当

abac成立时，存在特殊的个体使得bc不成立。命题对整体成立有理论依据，对整体不成立有个

体不成立的反例，它们分别是数学的论证和反驳。A

例3．设有四面体ABCD（如图），试证明：