备战2024年高考数学第一轮题型归纳与解题 考点30 等比数列及其前n项和10种常见考法归类（原卷版+解析）.docxVIP

考点30等比数列及其前n项和10种常见考法归类

考点一利用等比数列的定义求通项

考点二等比数列中an与Sn的关系

考点三等比数列基本量的运算

考点四等比数列的证明

考点五等比数列的性质及其应用

（一）等比中项的应用

（二）利用等比数列的性质计算

考点六等比数列前n项和性质的应用

（一）等比数列的片段和性质的应用

（二）等比数列奇偶项和的性质

考点七等比数列的单调性与最值问题

考点八等比数列的实际应用

考点九等差数列、等比数列的综合问题

考点十等比数列与其他知识的交汇

1.等比数列的概念

(1)等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)，即eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)，或eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*，n≥2).

注：(1)定义的符号表示：eq\f(an,an－1)＝q(n∈N*且n≥2)或eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0.

等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab.

注：两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个(±eq\r(ab))，而不是一个(eq\r(ab))，这是容易忽视的地方.

2.等比中项与等差中项的异同

对比项

等差中项

等比中项

定义

若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项

若a，G，b成等比数列，则G叫做a与b的等比中项

定义式

A－a＝b－A

eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)

公式

A＝eq\f(a＋b,2)

G＝±eq\r(ab)

个数

a与b的等差中项唯一

a与b的等比中项有两个，且互为相反数

备注

任意两个数a与b都有等差中项

只有当ab＞0时，a与b才有等比中项

3.等比数列的通项公式与前n项和公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1.该式又可以写成an＝eq\f(a1,q)·qn，这表明q≠1时，an是常数与指数函数(关于n)的乘积.

(2)等比数列的通项公式与指数型函数的关系

①当q0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝eq\f(a1,q)·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)．

②任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a0且a≠1)，

则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a.

注意点：(1)a10，q1时，数列{an}为正项的递增等比数列；(2)a10,0q1时，数列{an}为正项的递减等比数列；(3)a10，q1时，数列{an}为负项的递减等比数列；(4)a10,0q1时，数列{an}为负项的递增等比数列；(5)q＝1时，数列{an}为常数列；(6)q0时，数列{an}为摆动数列；奇数项符号相同，偶数项符号相同．

(3)前n项和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1（q＝1），,\f(a1（1－qn）,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)（q≠1）.))

当q≠1时，该式又可以写成Sn＝eq\f(a1,1－q)－eq\f(a1,1－q)·qn，这表明q≠1时，Sn的图象是指数型函数y＝－Aqx＋Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＝\f(a1,1－q)))图象上一群孤立的点.

注：①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．

②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．

(4)等比数列前n项和公式的函数特征

当公比q≠1时，设A＝eq\f(a1,q－1)，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数.

（Sn＝eq\f(a1－a1qn,1－q)＝－eq\f(a1,1－q)qn＋eq\f(a1,1－q)，设A＝－eq\f(a1,1－q)，则Sn＝Aqn－A.且系数与常数互为相反数．）

当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.

4.等比数列基本量运算的解题策略

（1）等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)，通过列方程(组)便可迎刃而解；

（2）运用方程思想解答等比数列的基本运算问题是高考常见题型，要抓