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以几何直观视角指导学生解决问题的实践研究

几何直观是《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下通称“新课标”）中提出的一个核心词。学生借助几何直观，有助于建立形与数的联系，分析问题，探索解决问题的思路。几何直观并不局限在几何领域，而是在整个数学学习过程中都起到了重要的作用。几何直观的培养是一个从具体到抽象，由实物到表象的漫长过程，从直观角度来看，可以分为三个维度：一是实物直观，指的是实物层面的几何直观，学生借助数与物之间的关联，进行具体、形象的思考，获得对数的进一步理解。二是符号直观，指的是在实物直观的基础上再进一步抽象形成的直观。三是图表直观，指的是以明确运用图表为载体的几何直观。比如，在遇到比较多的点连成线段时，学生往往容易遗漏，教师在教学时需要引导他们化繁为简，找到规律来解决此类问题。基于此，笔者开展了以几何直观视角指导学生解决问题的实践研究。

一、设计分层点，丰富策略促发展

（一）模仿解决，理解归一，

夯实基础

【案例1】尝试用画图的方式整理数学信息并解决问题。

李红买3本错题本花了15元，买7本这样的错题本需要多少钱？

考虑到学生刚刚学习归一问题，教师此时可以先模仿例题设计相关的问题，引导学生借助画图分析问题，理解归一问题的数量关系，获得解决问题的经验。

（二）延伸比较，求同存异，

凸显本质

【案例2】先解决问题，再比较异同。

1.一本书李华4天看了12页，照这样的速度，他10天可以看多少页？

2.一本书李华4天看了12页，照这样的速度，90页他需要看多少天？

这一层次的练习不仅需要解决问题，更重要的是引导学生通过比较发现异同，认识到：不变的是先求每天看的页数，变的是第1题求10天看的页数，应该用乘法解决；第二题求90页看了几天，应该用除法解决。这样，教师可以帮助学生建立含有归一数量关系问题的模型，从而帮助学生掌握正确的解决问题的方法。

（三）拓展提升，丰富策略，

促进发展

【案例3】你能用不同的方法解决下面这些问题吗？请试一试。

如图1，如果阴影部分表示20，那么长方形表示多少？

如表1，王叔叔每天生产的零件个数相同，那么，他8天生产多少零件？

以数形结合的方式呈现含有归一数量关系的问题对学生来说是有挑战性的，他们先要读懂图意，再根据图意分析、理解数量关系，最后用不同的方法解决问题，体现策略的多样化。这样分层化的练习，使不同层次学生的思维都得到发展。

二、强化训练点，多元体悟图意

运用画图策略解题时，需要教师采用多种方式精心组织学生训练，引导学生置身于具体的学习素材中，通过多种形式体悟图意，逐步养成“心中有图、见题想图”的思维习惯。

（一）结构化图式

1.一题结构多图

教师可以引导学生把一个问题用多个图来表征，找出相同点，进行深入思考，在此过程中发现本质特征。教学中常用的示意图有点子图、积木图小立方体图、小棒图、方格图、计数器图、算盘图、靶子图、人民币图，等等。

?【案例4】“千以内数的认识”教学片段

请你用不同的图来表示235。

讨论：对比这几种方法，说一说它们之间的联系。

以上5种图，虽然种类不一样，但是表示的数都是235。教师通过不同的图让学生体验到235是由2个百、3个十和5个一组成的这一本质特征，清晰地了解了计数单位一、十、百……的优点；帮助学生将计数单位与具体的形状联系起来，使学生在头脑中形成数的概念，也促进了数学活动经验的提升，为后续学习大数积累经验。

2.多题结构一图

教师可以对数量关系相同的问题进行结构化，引导学生把同一类问题整合到一幅图中加以思考，理解这类问题的数量关系，找到解决方法。

【案例5】“倍”教学片段

一本笔记本6元，4本笔记本多少元？一个小组8人，4个小组多少人？文具盒25元，书包的价格是文具盒的4倍。书包的价格是多少元？4个9是多少？请用图表示以上问题。

学生画出各种各样含有4倍关系的图，通过比较发现，这四个问题可以用同一幅图来表示。“不论数据的大小和线段的长短，只要两个量具有4倍关系”这一本质特征，为学生构建了倍数关系的直观模型。

（二）分层化图式

学生解决问题是一个主动的、复杂的认识过程，也是从具体到抽象的过程。为此，在画图过程中，教师要发挥主导作用，引导学生把信息分层图示化，厘清数量关系，促进问题解决，生成高阶思维。

【案例6】“乘法的初步认识”教学片段

用图表示3×5，学生作品如下。

方法1：○○○○○○○○○○○○

??????????○○○5个3

方法2：○○○○○○○○○○

??????????○○○○○3个5

方法3：○○○○○

???????○○○○○?→?横着看表示3个5

???????○○○○○?↓??竖着看表示5个3

方法4：

这4个方法都能表示3×5