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江苏省常熟市2024年高三数学第一学期期末预测试题
注意事项
1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.
2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.
4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.
5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图,在等腰梯形中,,,,为的中点,将与分别沿、向上折起,使、重合为点,则三棱锥的外接球的体积是()
A. B.
C. D.
2.已知集合,,,则集合()
A. B. C. D.
3.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以、、、、为顶点的多边形为正五边形,且,则()
A. B. C. D.
4.在边长为2的菱形中,,将菱形沿对角线对折,使二面角的余弦值为,则所得三棱锥的外接球的表面积为()
A. B. C. D.
5.已知函数有两个不同的极值点,,若不等式有解,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
6.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的右焦点为,若F到直线的距离为,则E的离心率为()
A. B. C. D.
7.已知正四面体外接球的体积为,则这个四面体的表面积为()
A. B. C. D.
8.已知函数与的图象有一个横坐标为的交点,若函数的图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的倍后,得到的函数在有且仅有5个零点,则的取值范围是()
A. B.
C. D.
9.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示:
根据该折线图可知,下列说法错误的是()
A.该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高
B.该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低
C.该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益
D.该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元
10.已知集合,则()
A. B.
C. D.
11.若,则函数在区间内单调递增的概率是()
A.B.C.D.
12.已知,,若,则向量在向量方向的投影为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在的二项展开式中,x的系数为________.(用数值作答)
14.已知点是抛物线的准线上一点,F为抛物线的焦点,P为抛物线上的点,且,若双曲线C中心在原点,F是它的一个焦点,且过P点,当m取最小值时,双曲线C的离心率为______.
15.的展开式中,的系数为____________.
16.如图,两个同心圆的半径分别为和,为大圆的一条直径,过点作小圆的切线交大圆于另一点,切点为,点为劣弧上的任一点(不包括两点),则的最大值是__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)如图,在四面体中,.
(1)求证:平面平面;
(2)若,二面角为,求异面直线与所成角的余弦值.
18.(12分)已知椭圆()的离心率为,且经过点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作直线与椭圆交于不同的两点,,试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,说明理由.
19.(12分)如图,正方形是某城市的一个区域的示意图,阴影部分为街道,各相邻的两红绿灯之间的距离相等,处为红绿灯路口,红绿灯统一设置如下:先直行绿灯30秒,再左转绿灯30秒,然后是红灯1分钟,右转不受红绿灯影响,这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从处骑行到处(不考虑处的红绿灯),出发时的两条路线()等可能选择,且总是走最近路线.
(1)请问小明上学的路线有多少种不同可能?
(2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下,小明优先直行,求小明骑行途中恰好经过处,且全程不等红绿灯的概率;
(3)请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值,为小明设计一条最佳的上学路线,且应尽量避开哪条路线?
20.(12分)已知动点到定点的距离比到轴的距离多.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设,是轨迹在上异于原点的两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当,变化且时,证明:直线恒过定点,并求出该定点的坐标.
21.(12分)已知圆的极坐标方程是,以
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