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运筹学运输问题和指派问题
2024-02-01
目录
CONTENTS
运筹学简介
运输问题基本概念及模型
指派问题基本概念及模型
运输问题求解方法探讨
指派问题求解方法探讨
运输问题和指派问题案例分析
运筹学在其他领域应用展望
01
运筹学简介
CHAPTER
运筹学定义
运筹学是一门应用数学学科，利用计划方法和有关多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据。
发展历程
运筹学起源于20世纪30年代末，在第二次世界大战期间得到了广泛的应用和发展。战后，运筹学主要转向经济建设和规划管理等领域，并形成了比较完备的理论体系。
03
任务分配
将任务分配给不同的执行者，以实现任务完成时间最短或任务完成质量最高等目标。
01
物资调运
制定合理的物资调运方案，以实现总运费最小或总运输时间最短等目标。
02
生产计划
安排企业的生产计划，包括生产什么、生产多少以及如何生产等问题，以实现企业利润最大化或成本最小化等目标。
研究如何将有限的物资从若干个供应点运送到若干个需求点，并满足各需求点的需求量，且总运费最小或总运输时间最短等问题。运输问题在物流、交通等领域有着广泛的应用。
运输问题
研究如何将n项任务分配给n个人去完成，使得完成任务的代价最小或效益最大。指派问题在生产管理、人事安排等领域有着广泛的应用。
指派问题
02
运输问题基本概念及模型
CHAPTER
研究如何将有限资源从供应地有效、经济地调配到需求地，以满足一定需求条件下总费用或总路径最短的优化问题。
供需平衡、多对多关系、非线性规划等。
运输问题特点
运输问题定义
参数
包括供应地到需求地的单位运输费用、供应地供应量、需求地需求量等。
变量
主要为决策变量，即各供应地到各需求地的运输量。这些变量在模型中需要满足所有约束条件，并使得目标函数达到最优值。
03
指派问题基本概念及模型
CHAPTER
指派问题（AssignmentProblem）是一类特殊的线性规划问题，旨在求解如何以最小或最大效益将一系列任务分配给一组人员。
这类问题在现实生活中广泛存在，如工作分配、资源调度、任务规划等场景。
通过指派问题的求解，可以实现任务与人员之间的最优匹配，从而提高整体效益。
在指派问题的数学模型中，参数通常包括任务数量、人员数量以及效益矩阵等。
决策变量表示是否将某个任务分配给某个人员，通常取值为0或1。
目标函数表示整体效益的最大化或最小化，根据实际问题而定。
约束条件则包括每个任务只能分配给一个人员、每个人员只能承担一个任务等限制条件。
01
02
03
04
04
运输问题求解方法探讨
CHAPTER
西北角法
从成本矩阵的西北角开始，逐步分配运输量，直到满足需求或供给为止。
最小元素法
每次选择当前成本矩阵中最小元素对应的运输任务进行分配，逐步逼近最优解。
Vogel法
通过计算各行列的罚数，优先满足罚数最大的运输任务，以获得更好的初始解。
确保每个供应地的供应量等于每个需求地的需求量。
供需平衡条件
通过计算检验数来判断当前解是否是最优解，若所有非基变量的检验数均大于等于零，则当前解为最优解。
检验数条件
在运输网络中不存在包含正检验数的闭回路，否则存在改进空间。
无闭回路条件
当存在包含正检验数的闭回路时，通过调整闭回路上的运输量来改进当前解。
闭回路调整法
位势法
双层规划法
通过引入位势概念，将原问题转化为等价的位势问题，进而用单纯形法求解。
针对复杂运输问题，可以采用双层规划法进行处理，将原问题分解为若干个子问题分别求解。
03
02
01
05
指派问题求解方法探讨
CHAPTER
重复执行
重复执行寻找增广路径和更新匹配数的步骤，直到无法找到新的增广路径为止。
初始化
将指派问题的系数矩阵转化为二分图的邻接矩阵，并初始化匹配数为0。
寻找增广路径
从每个未匹配点出发，依次遍历其相邻点，若相邻点未被匹配，则将其加入增广路径中；若相邻点已被匹配，则尝试寻找其他增广路径。
更新匹配数
当找到一条增广路径后，将路径上的所有匹配进行反转，即未匹配变为已匹配，已匹配变为未匹配，并更新匹配数。
数据规模与算法效率
矩阵稀疏性处理
特殊情况处理
算法稳定性与可靠性
对于大规模指派问题，匈牙利算法可能面临效率较低的问题，需要考虑采用其他优化算法。
对于某些特殊情况，如系数矩阵中存在负数或需要考虑多种约束条件时，需要对算法进行相应调整。
当系数矩阵较为稀疏时，可以采用邻接表等数据结构来存储图信息，以降低空间复杂度。
在实际应用中，需要对算法的稳定性和可靠性进行充分测试，以确保其能够正确求解各种指派问题。
06
运输问题和指派问题案例分析
CHAPTER
案例背景
某公司需要从多个供应商处采购原材料，并运输到多个生产基地。运输成本
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