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江苏省南京市江宁区高级中学2024届高三数学第一学期期末联考试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在上的偶函数，当时，，设，则（）

A． B． C． D．

2．若复数是纯虚数，则实数的值为()

A．或 B． C． D．或

3．如图是计算值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是()

A．

B．

C．

D．

4．将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则的最小值为（）

A． B． C． D．

5．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知，，，是球的球面上四个不同的点，若，且平面平面，则球的表面积为（）

A． B． C． D．

7．已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）

A．7 B．14 C．28 D．84

8．对于任意，函数满足，且当时，函数.若，则大小关系是（）

A． B． C． D．

9．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（）

A． B． C．1 D．

10．设，，则的值为（）

A． B．

C． D．

11．中，点在边上，平分，若，，，，则（）

A． B． C． D．

12．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是()

A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知向量，，满足，，，则的取值范围为_________.

14．平面区域的外接圆的方程是____________.

15．已知，则展开式中的系数为__

16．正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）设函数，其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）若在上存在两个极值点，求的取值范围；

（Ⅱ）若，函数与函数的图象交于，且线段的中点为，证明：.

18．（12分）如图在四边形中，，，为中点，.

（1）求；

（2）若，求面积的最大值.

19．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为，焦距为4，且椭圆过点，过点且不平行于坐标轴的直线交椭圆与两点，点关于轴的对称点为，直线交轴于点.

（1）求的周长；

（2）求面积的最大值.

20．（12分）设数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

21．（12分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.

（1）证明:点在轴的右侧;

（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率

22．（10分）已知数列和，前项和为，且，是各项均为正数的等比数列，且，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据偶函数性质，可判断关系；由时，，求得导函数，并构造函数，由进而判断函数在时的单调性，即可比较大小.

【详解】

为定义在上的偶函数，

所以

所以;

当时，，

则，

令

则，当时，，

则在时单调递增，

因为，所以，

即，

则在时单调递增，

而，所以

，

综上可知，

即，

故选：B.

【点睛】

本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.

2、C

【解析】

试题分析：因为复数是纯虚数，所以且，因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.

考点：纯虚数

3、B

【解析】

根据计算结果，可知该循环结构循环了5次；输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，进而可得判断框内的不等式．

【详解】

因为该程序图是计算值的一个程序框圈

所以共循环了5次

所以输出S前循环体的n的值为12，k的值为6，

即判断框内的不等式应为或

所以选C

【点睛】

本题考查了程序框图的简单应