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江津中学2024年数学高三上期末检测试题
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设函数的定义域为,满足,且当时,.若对任意,都有,则的取值范围是().
A. B. C. D.
2.“”是“,”的()
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
3.若复数满足,则(其中为虚数单位)的最大值为()
A.1 B.2 C.3 D.4
4.设、是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则的一个充分条件是()
A.且 B.且 C.且 D.且
5.已知集合,则元素个数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知向量,,则向量在向量上的投影是()
A. B. C. D.
7.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为:“今有十等人,每等一人,宫赐金以等次差降之,上三人先入,得金四斤,持出,下三人后入得金三斤,持出,中间四人未到者,亦依次更给,问各得金几何?”则在该问题中,等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金()
A.多1斤 B.少1斤 C.多斤 D.少斤
8.在棱长为a的正方体中,E、F、M分别是AB、AD、的中点,又P、Q分别在线段、上,且,设平面平面,则下列结论中不成立的是()
A.平面 B.
C.当时,平面 D.当m变化时,直线l的位置不变
9.已知角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,终边经过点,则()
A. B. C. D.
10.用1,2,3,4,5组成不含重复数字的五位数,要求数字4不出现在首位和末位,数字1,3,5中有且仅有两个数字相邻,则满足条件的不同五位数的个数是()
A.48 B.60 C.72 D.120
11.函数(其中,,)的图象如图,则此函数表达式为()
A. B.
C. D.
12.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,平面,,若球的表面积为,则三棱锥的体积的最大值为()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知函数为上的奇函数,满足.则不等式的解集为________.
14.在编号为1,2,3,4,5且大小和形状均相同的五张卡片中,一次随机抽取其中的三张,则抽取的三张卡片编号之和是偶数的概率为________.
15.已知函数,若的最小值为,则实数的取值范围是_________
16.已知椭圆与双曲线(,)有相同的焦点,其左、右焦点分别为、,若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为,且,则双曲线的离心率为__________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)若曲线存在与轴垂直的切线,求的取值范围.
(2)当时,证明:.
18.(12分)已知函数,.
(1)若函数在上单调递减,且函数在上单调递增,求实数的值;
(2)求证:(,且).
19.(12分)已知三棱柱中,,是的中点,,.
(1)求证:;
(2)若侧面为正方形,求直线与平面所成角的正弦值.
20.(12分)已知抛物线,过点的直线交抛物线于两点,坐标原点为,.
(1)求抛物线的方程;
(2)当以为直径的圆与轴相切时,求直线的方程.
21.(12分)在某外国语学校举行的(高中生数学建模大赛)中,参与大赛的女生与男生人数之比为,且成绩分布在,分数在以上(含)的同学获奖.按女生、男生用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本,得到成绩的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)求的值,并计算所抽取样本的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(Ⅱ)填写下面的列联表,并判断在犯错误的概率不超过的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”.
女生
男生
总计
获奖
不获奖
总计
附表及公式:
其中,.
22.(10分)超级病菌是一种耐药性细菌,产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多,但是由于滥用抗生素的现象不断的发生,很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性,更可怕的是,抗生素药物对它起不到什么作用,病人会因为感染而引起可怕的炎症,高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌,需要检验血液是否为阳性,现有n()份血液样本,每个样本取到的可能性均等,有以下两种检验方式:
(1)逐份检验,则需要检验n次;
(2)混合检验,将其中k(且)份血液样本
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