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吉林省长春市田家炳实验中学2023-2024学年高三数学第一学期期末考试模拟试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知平面向量满足，且，则所夹的锐角为（）

A． B． C． D．0

2．在中，角的对边分别为，若，则的形状为（）

A．直角三角形 B．等腰非等边三角形

C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形

3．i是虚数单位，若，则乘积的值是()

A．－15 B．－3 C．3 D．15

4．将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：

①它的图象关于直线x=对称；

②它的最小正周期为；

③它的图象关于点(，1)对称；

④它在[]上单调递增.

其中所有正确结论的编号是（）

A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④

5．已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则实数的取值为（）

A．-2 B．-1 C．1 D．2

6．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（）

A． B． C． D．

7．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为

A． B． C．2 D．

8．在棱长均相等的正三棱柱中，为的中点，在上，且，则下述结论：①；②；③平面平面：④异面直线与所成角为其中正确命题的个数为()

A．1 B．2 C．3 D．4

9．设，且，则（）

A． B． C． D．

10．对于定义在上的函数，若下列说法中有且仅有一个是错误的，则错误的一个是（）

A．在上是减函数 B．在上是增函数

C．不是函数的最小值 D．对于，都有

11．已知函数，若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

12．已知函数，，且在上是单调函数，则下列说法正确的是（）

A． B．

C．函数在上单调递减 D．函数的图像关于点对称

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．在中，角的对边分别为，且，若外接圆的半径为，则面积的最大值是______.

14．为了了解一批产品的长度（单位：毫米）情况，现抽取容量为400的样本进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为__________．

15．已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_________．

16．已知，满足约束条件，则的最大值为________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数的最大值为，其中.

（1）求实数的值；

（2）若求证:.

18．（12分）已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）设其中为常数.若方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.

19．（12分）已知函数．

（1）时，求不等式解集；

（2）若的解集包含于，求a的取值范围．

20．（12分）已知函数.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）若函数没有零点，求实数的取值范围.

21．（12分）如图，四棱锥中，平面，，，.

（Ｉ）证明：；

（Ⅱ）若是中点，与平面所成的角的正弦值为，求的长.

22．（10分）已知函数.

（1）若函数的图象与轴有且只有一个公共点，求实数的取值范围；

（2）若对任意成立，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、B

【解析】

根据题意可得，利用向量的数量积即可求解夹角.

【详解】

因为

即

而

所以夹角为

故选：B

【点睛】

本题考查了向量数量积求夹角，需掌握向量数量积的定义求法，属于基础题.

2、C

【解析】

利用正弦定理将边化角，再由，化简可得，最后分类讨论可得；

【详解】

解：因为

所以

所以

所以

所以

所以

当时，为直角三角形；

当时即，为等腰三角形；

的形状是等腰三角形或直角三角形

故选：．

【点睛】

本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．

3、B

【解析】

，∴，选B．

4、B

【解析】

根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关