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专注:心无旁骛,万事可破
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专注:心无旁骛,万事可破
相似形和比例线段(提高)知识讲解
责编:常春芳
【学习目标】
1、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段;
2、会运用比例线段解决简单的实际问题;
3、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.
【要点梳理】
要点一、比例线段
【高清课堂:394495图形的相似预备知识】
1.成比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.
2.比例的性质:
(1)基本性质:若a:b=c:d,则ad=bc;
(2)合比性质:如果
如果
(3)等比性质:如果
(4)比例中项:若a:b=b:c,则=ac,b称为a、c的比例中项.
要点诠释:
(1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示,若单位长度不同,先化成同一单位,再求它们的比;
(2)两条线段的比,没有长度单位,它与所采用的长度单位无关;
(3)两条线段的长度都是正数,所以两条线段的比值总是正数.
要点四、黄金分割
1.定义:点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.
要点诠释:
≈0.618AB(叫做黄金分割值).
2.作一条线段的黄金分割点:
图4-7
如图,已知线段AB,按照如下方法作图:
(1)经过点B作BD⊥AB,使BD=AB.
(2)连接AD,在DA上截取DE=DB.
(3)在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.
要点诠释:
一条线段的黄金分割点有两个.
【典型例题】
类型一、比例线段
1.求证:如果,那么.
【答案与解析】∵,
在等式两边同加上1,
∴,
∴.
∴.
【总结升华】这是比例的合比性质,利用等式的性质得到证明.
举一反三:
【高清课堂:394495图形的相似预备知识练习2】
【变式】(春?扶沟县期中)若=,则=().
A.B.C.D.无法确定
【答案】C.
2.已知:.求k值.
【思路点拨】可分a+b+c=0和a+b+c≠0两种情况代入求值和利用等比性质求解.
【答案与解析】①当a+b+c=0时,
b+c=-a,c+a=-b,a+b=-c,
∴k为其中任何一个比值,即k==-1;
②a+b+c≠0时,
k=.
∴k=-1或.
【总结升华】考查比例性质的应用;分两种情况探讨此题是解决本题的易错点.
类型二、黄金分割
3.宽与长之比为的矩形叫黄金矩形.如图:如果在一个黄金矩形里面画一个正方形,那么留下的矩形还是黄金矩形吗?请证明你的结论.
【答案与解析】∵四边形ABEF是正方形,∴AB=DC=AF,
又∵,∴,
即点F是AD的黄金分割点,
∴,即
∴,即,
∴矩形CDEF是黄金矩形.
【总结升华】根据黄金矩形的定义去计算宽与长之比即可.
4.(春?南京校级月考)(1)已知线段AB=10cm,C是AB的一个黄金分割点,且AC<BC,求AC长;
(2)已知线段a、b、c,a=4cm,b=9cm,线段c是线段a和b的比例中项.求线段c的长.
【思路点拨】(1)根据黄金分割点的定义,知AC是较短线段,由黄金分割的公式:较短的线段=原线段的倍,可得AC=10×,计算即可;
(2)根据线段比例中项的概念,可得a:c=c:b,可得c2=ab=36,故c的值可求.注意线段不能为负..
【答案与解析】
解:(1)∵线段AB=10cm,C是AB的一个黄金分割点,且AC<BC,
∴AC=10×=15﹣5(cm);
(2)∵线段c是线段a和b的比例中项,a=4cm,b=9cm,
∴c2=ab=36,
解得c=±6,
又∵线段是正数,
∴c=6cm.
【总结升华】本题考查了黄金分割,应该识记黄金分割的公式:较短的线段=原线段的倍,较长的线段=原线段的倍.也考查了比例中项的概念..
举一反三:
【变式】(?章丘市校级期末)已知线段AB=1,C是线段AB的黄金分割点,则AC的长度为()
A.B.C.
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