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第十章 向量与空间解析几何

本章提要

基本概念

空间直角坐标系，向量，向量的模，单位向量，自由向量，向径，向量的坐标与分解，向量的方向余弦，向量的点积与叉积，平面的点法式与一般式方程，直线的点向式及一般式方程，球面，柱面，旋转面，二次曲面。

基本公式

两点间距离公式，向量模与方向余弦公式，点积与叉积坐标公式，点到平面的距离公式，平面与直线间的夹角公式。

第一节空间直角坐标系与向量的概念（一）

一、填空题

1、点M(x,y,z)关于y轴对称点坐标是 。

2、既有大小，又有方向的量称为 。

3、向量的大小称为向量的 。

4、模为1的向量称为 。

5、零向量的方向为 。

? ?0

6、设a是一个非零向量，则与其同向的单位向量a=

? ?

7、称?a为a的

8、向量的加法运算及数与向量的乘法运算统称为向量的 。

9、确定右手直角坐标系的方法形象称为

10、在空间直角坐标系中，x轴与y轴所确定的坐标面称为 坐标面

二、判断题

1、向量是只有大小，没有方向的量。 （ ）

? ? ? ?

2、如果向量a与b的大小相等，则称向量a与b相等。（ ）

3、温度是向量，速度是数量。 （ ）

三、计算题

1、在空间直角坐标系中，描述出下列各点，并指出它们的位置特征：

A(0,2,?1),B(1,0,3),C(0,1,0),D(3,3,3)

2、在空间直角坐标系中，指出点P1(1,?1,?1),P2(1,?2,2)所在的卦限

? ?? ??

? ??

??? ? ?

3、设u?a?b?2c,v??a?3b?c，试用a,b,c表示2u?3v

第一节空间直角坐标系与向量的概念(二)

一、填空题

1、在空间中有一点M

?

(1,1,1)，则向径OM=

2、空间直角坐标系中，在坐标轴上分别与x轴，y轴，z轴方向相同的单位向量

称为 。

3、在空间直角坐标系中有M1(1,0,?1)，M2(2,3,?1)

?

两点，则M1M2=

4、r则r?o???1,1,1?, ?

4、r

则r

?

o

5、在空间中，点A(1,?1,?3)与点B(?5,6,3)之间的距离d是

? ???? ??? ?? ??

6、a?i?j?k,b?i?j?k，则a?b? ；a?b?

二、判断题

? ???

1、r?i?j?k是单位向量。 （ ）

2、???111?

333a ?,,

3

3

3

?

?的模是1。 （ ）

?

? ? ??

3、若a，b均为单位向量，则a?b必是单位向量。 （ ）

? ?

4、若?

? ? ?

2 2 2

a a1i?a2

j?a3k,则a

?a1

?a2?a3 （ ）

三、计算题

?? ?? ??

1、已知点M1(1,0,?1),M2(?1,2,1),试求向量M1M2，M2M1，OM1的坐标表示。

? ????

? ? ?

?0?0

2、分别求出向量a?i?j?k,b?2i?3j?5k的模，并分别用单位向量a,b表

??

达向量a,b

3、求平行于a的单位向量。

3、求平行于a

的单位向量。

? ? ??? ?? ?

4、已知：a?mi?5j?k,b?3i?j?nk平行，求m,n。

a5、已知：向量???3,?1,2?，它的起点为(1,0,?5)，求它的终点。

a

第二节向量的点积与叉积(一)

一、填空题

? ? ?? ? ?

1、设向量a与b之间夹角为θ(0?θ?π)，则称abcosθ为a与b

的 ，并用记号 表示。

? ???? ??? ??

2、a?2i?j?k,b?i?j?k，则a?b=

? ?

3、向量a与b正交的充要条件是 或

?? ??

4、a?b?abcosθ

(0?θ?π)，则cosθ?

二、判断题

?? ??

1、a?b??b?a （ ）

?? ?? ??

2、i?j?j?k?k?i?1 （ ）

? ?? ????

3、a?(b?c)?a?b?a?