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江苏省南京市六校联合体2023-2024学年高三数学第一学期期末达标检测试题
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数,,且在上是单调函数,则下列说法正确的是()
A. B.
C.函数在上单调递减 D.函数的图像关于点对称
2.已知双曲线的一条渐近线经过圆的圆心,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.2
3.在中,角所对的边分别为,已知,.当变化时,若存在最大值,则正数的取值范围为
A. B. C. D.
4.己知四棱锥中,四边形为等腰梯形,,,是等边三角形,且;若点在四棱锥的外接球面上运动,记点到平面的距离为,若平面平面,则的最大值为()
A. B.
C. D.
5.数学中的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论:①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2;③曲线C围成区域的面积大于;④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是()
A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④
6.若双曲线的离心率为,则双曲线的焦距为()
A. B. C.6 D.8
7.已知a0,b0,a+b=1,若α=,则的最小值是()
A.3 B.4 C.5 D.6
8.在等差数列中,,,若(),则数列的最大值是()
A. B.
C.1 D.3
9.已知函数,则下列结论中正确的是
①函数的最小正周期为;
②函数的图象是轴对称图形;
③函数的极大值为;
④函数的最小值为.
A.①③ B.②④
C.②③ D.②③④
10.已知双曲线的左右焦点分别为,,以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为,若直线与圆相切,则双曲线的渐近线方程是()
A. B. C. D.
11.曲线在点处的切线方程为,则()
A. B. C.4 D.8
12.如图,在四边形中,,,,,,则的长度为()
A. B.
C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知集合A=,B=,若AB中有且只有一个元素,则实数a的值为_______.
14.已知为等比数列,是它的前项和.若,且与的等差中项为,则__________.
15.已知(为虚数单位),则复数________.
16.已知函数,若对于任意正实数,均存在以为三边边长的三角形,则实数k的取值范围是_______.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在直角坐标系中,曲线的标准方程为.以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求直线的直角坐标方程;
(2)若点在曲线上,点在直线上,求的最小值.
18.(12分)已知函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求在上的最大值和最小值.
19.(12分)如图所示,直角梯形ABCD中,,,,四边形EDCF为矩形,,平面平面ABCD.
(1)求证:平面ABE;
(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.
(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.
20.(12分)已知函数(,),.
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若对任意的,恒成立,求实数的取值范围.
21.(12分)已知函数,.
(1)求函数在处的切线方程;
(2)当时,证明:对任意恒成立.
22.(10分)某公园有一块边长为3百米的正三角形空地,拟将它分割成面积相等的三个区域,用来种植三种花卉.方案是:先建造一条直道将分成面积之比为的两部分(点D,E分别在边,上);再取的中点M,建造直道(如图).设,,(单位:百米).
(1)分别求,关于x的函数关系式;
(2)试确定点D的位置,使两条直道的长度之和最小,并求出最小值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【解析】
根据函数,在上是单调函数,确定,然后一一验证,
A.若,则,由,得,但.B.由,,确定,再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.
【详解】
因为函数,在上是单
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