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江苏省常州一中2023-2024学年高三数学第一学期期末统考试题
注意事项
1.考生要认真填写考场号和座位序号。
2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若x∈(0,1),a=lnx,b=,c=elnx,则a,b,c的大小关系为()
A.b>c>a B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c
2.若的内角满足,则的值为()
A. B. C. D.
3.使得的展开式中含有常数项的最小的n为()
A. B. C. D.
4.已知函数,存在实数,使得,则的最大值为()
A. B. C. D.
5.函数()的图像可以是()
A. B.
C. D.
6.已知函数,则下列结论错误的是()
A.函数的最小正周期为π
B.函数的图象关于点对称
C.函数在上单调递增
D.函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
7.已知双曲线与双曲线没有公共点,则双曲线的离心率的取值范围是()
A. B. C. D.
8.在正方体中,,分别为,的中点,则异面直线,所成角的余弦值为()
A. B. C. D.
9.已知是虚数单位,则()
A. B. C. D.
10.已知双曲线的左右焦点分别为,,以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为,若直线与圆相切,则双曲线的渐近线方程是()
A. B. C. D.
11.已知为虚数单位,若复数满足,则()
A. B. C. D.
12.若表示不超过的最大整数(如,,),已知,,,则()
A.2 B.5 C.7 D.8
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设实数,若函数的最大值为,则实数的最大值为______.
14.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为________.
15.设为锐角,若,则的值为____________.
16.已知,,则与的夹角为.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数.
(1)解不等式;
(2)若函数的最小值为,求的最小值.
18.(12分)如图所示,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直,AB=,AF=1,M是线段EF的中点.
求证:(1)AM∥平面BDE;
(2)AM⊥平面BDF.
19.(12分)在数列中,,
(1)求数列的通项公式;
(2)若存在,使得成立,求实数的最小值
20.(12分)如图,在中,,,点在线段上.
(1)若,求的长;
(2)若,,求的面积.
21.(12分)已知椭圆的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为,,为其右焦点,,且该椭圆的离心率为;
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点,交直线于点,直线与椭圆的另一个交点为,直线与直线交于点.若,求取值范围.
22.(10分)已知椭圆的焦点为,,离心率为,点P为椭圆C上一动点,且的面积最大值为,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点,为椭圆C上的两个动点,当为多少时,点O到直线MN的距离为定值.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、A
【解析】
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.
【详解】
∵x∈(0,1),
∴a=lnx<0,
b=()lnx>()0=1,
0<c=elnx<e0=1,
∴a,b,c的大小关系为b>c>a.
故选:A.
【点睛】
本题考查三个数的大小的判断,考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
2、A
【解析】
由,得到,得出,再结合三角函数的基本关系式,即可求解.
【详解】
由题意,角满足,则,
又由角A是三角形的内角,所以,所以,
因为,
所以.
故选:A.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的性质,以及三角函数的基本关系式和正弦的倍角公式的化简、求值问题,着重考查了推理与计算能力.
3、B
【解析】
二项式展开式的通项公式为,若展开式中有常数项,则,解得,当r取2时,n的最小值为5,故选B
【考点定位】本题考查二项式定理的应用.
4、A
【解析】
画出分段函数图像,可得,由于,构造函数,利用导数研究单调性,分析最值,即得解.
【详解】
由于,
,
由于,
令,,
在↗,↘
故.
故选:A
【点睛】
本题考查了导数在函数性质探究中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,综合分析,数学运算
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