江苏省栟茶高级中学2024届数学高三第一学期期末学业质量监测试题含解析.docVIP

江苏省栟茶高级中学2024届数学高三第一学期期末学业质量监测试题

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在中，，，，点满足，则等于（）

A．10 B．9 C．8 D．7

2．是虚数单位，则（）

A．1 B．2 C． D．

3．已知，，分别为内角，，的对边，，，的面积为，则（）

A． B．4 C．5 D．

4．已知角的终边与单位圆交于点，则等于（）

A． B． C． D．

5．已知函数,则函数的图象大致为（）

A． B．

C． D．

6．函数在的图像大致为

A． B． C． D．

7．函数的图象大致为()

A． B．

C． D．

8．的展开式中含的项的系数为（）

A． B．60 C．70 D．80

9．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）

A． B． C． D．

10．已知三棱柱()

A． B． C． D．

11．设，是空间两条不同的直线，，是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若，，，则；

②若，，，则；

③若，，，则；

④若，，，，则.其中正确的是（）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

12．已知复数，则的虚部为（）

A．－1 B． C．1 D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图是一个算法伪代码，则输出的的值为_______________.

14．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”.中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶不相邻且在角音阶的同侧，可排成______种不同的音序.

15．“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月共织九匹三丈．”其白话意译为：“现有一善织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织了5尺布，现在一个月（按30天计算）共织布390尺．”则每天增加的数量为____尺，设该女子一个月中第n天所织布的尺数为，则______．

16．如图所示，点，B均在抛物线上，等腰直角的斜边为BC，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标是________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD，EF∥AB，∠BAF＝90°，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝2，点P在棱DF上．

（1）若P是DF的中点，求异面直线BE与CP所成角的余弦值；

（2）若二面角D﹣AP﹣C的正弦值为，求PF的长度．

18．（12分）已知是递增的等差数列，，是方程的根.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19．（12分）已知动圆经过点，且动圆被轴截得的弦长为，记圆心的轨迹为曲线．

（1）求曲线的标准方程；

（2）设点的横坐标为，，为圆与曲线的公共点，若直线的斜率，且，求的值．

20．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.在以坐标原点为极点、轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.

（1）若点在直线上，求直线的极坐标方程；

（2）已知，若点在直线上，点在曲线上，且的最小值为，求的值.

21．（12分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

（Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；

（Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；

（Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．

22．（10分）已知函数，.

（1）证明：函数的极小值点为1；

（2）若函数在有两个零点，证明：.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】

利用已知条件，表示出向量,然后求解向量的数量积．

【详解】

在中，，，，点满足，可得

则==

【点睛】

本题考查了向量的数量积运算，关键是利用基向量表示所求向量．

2、C

【解析】

由复数除法的运算法则求出，再由模