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专注:心无旁骛,万事可破
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专注:心无旁骛,万事可破
矩形(基础)
责编:康红梅
【学习目标】
1.理解矩形的概念.
2.掌握矩形的性质定理与判定定理.
【要点梳理】
要点一、矩形的定义
有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.
要点诠释:矩形定义的两个要素:①是平行四边形;②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形,然后增加一个角是直角这个特殊条件.
要点二、矩形的性质
矩形的性质包括四个方面:
1.矩形具有平行四边形的所有性质;
2.矩形的对角线相等;
3.矩形的四个角都是直角;
4.矩形是轴对称图形,它有两条对称轴.
要点诠释:(1)矩形是特殊的平行四边形,因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.
(2)矩形也是轴对称图形,有两条对称轴(分别通过对边中点的直线).对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心).
(3)矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质,从而矩形的性质可以归结为从三个方面看:从边看,矩形对边平行且相等;从角看,矩形四个角都是直角;从对角线看,矩形的对角线互相平分且相等.
要点三、矩形的判定
矩形的判定有三种方法:
1.定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
要点诠释:在平行四边形的前提下,加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.
要点四、直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
推论:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释:(1)直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形,对一般三角形不可使用.
(2)学过的直角三角形主要性质有:①直角三角形两锐角互余;②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.
(3)性质可以用来解决有关线段倍分的问题.
【典型例题】
类型一、矩形的性质
1、(?云南)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,M,N分别是AB,CD的中点,P是AD上的点,且∠PNB=3∠CBN.
(1)求证:∠PNM=2∠CBN;
(2)求线段AP的长.
【思路点拨】(1)由MN∥BC,易得∠CBN=∠MNB,由已知∠PNB=3∠CBN,根据角的和差不难得出结论;
(2)连接AN,根据矩形的轴对称性,可知∠PAN=∠CBN,由(1)知∠PNM=2∠CBN=2∠PAN,由AD∥MN,可知∠PAN=∠ANM,所以∠PAN=∠PNA,根据等角对等边得到AP=PN,再用勾股定理列方程求出AP.
【答案与解析】
解:(1)∵四边形ABCD是矩形,M,N分别是AB,CD的中点,
∴MN∥BC,
∴∠CBN=∠MNB,
∵∠PNB=3∠CBN,
∴∠PNM=2∠CBN;
(2)连接AN,
根据矩形的轴对称性,可知∠PAN=∠CBN,
∵MN∥AD,
∴∠PAN=∠ANM,
由(1)知∠PNM=2∠CBN,
∴∠PAN=∠PNA,
∴AP=PN,
∵AB=CD=4,M,N分别为AB,CD的中点,
∴DN=2,
设AP=x,则PD=6﹣x,
在Rt△PDN中
PD2+DN2=PN2,
∴(6﹣x)2+22=x2,
解得:x=
所以AP=.
【总结升华】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理等知识的综合运用,难度不大,根据角的倍差关系得到∠PAN=∠PNA,发现AP=PN是解决问题的关键.
举一反三:
【高清课堂417081矩形例7】
【变式】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点P为AB边上任一点,过P分别作PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,则线段EF的最小值是_________.
【答案】;
提示:因为ECFP为矩形,所以有EF=PC.PC最小时是直角三角形斜边上的高.
类型二、矩形的判定
2、(?济宁一模)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于F,且AF=BD,连接BF.
(1)求证:D是BC的中点.
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
【思路点拨】
(1)因为AF∥BC,E为AD的中点,即可根据AAS证明△AEF≌△DEC,故有BD=DC;
(2)由(1)知,AF=DC且AF∥DC,可得四边形AFDC是平行四边形,又因为AD=CF,故可有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定.
【答案与解析】
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