专题2.3 一元二次方程根的判别式【八大题型】（教师版）-2023年八年级下册数学举一反三系列（浙教版）.docxVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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专注：心无旁骛，万事可破

专题2.3一元二次方程根的判别式【八大题型】

【浙教版】

TOC\o1-3\t正文,1\h

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【题型1由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】 1

【题型2由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】 2

【题型3由根的判别式判断方程根的情况（综合类）】 4

【题型4由方程根的情况确定字母的取值范围】 7

【题型5由方程有两个相等的实数根求值】 8

【题型6根的判别式与新定义的综合】 10

【题型7由根的判别式证明方程根的必然情况】 12

【题型8根的判别式与三角形的综合】 14

【知识点一元二次方程根的判别式】

一元二次方程根的判别式：?=

①当?=

②当?=

③当?=

【题型1由根的判别式判断方程根的情况（不含字母类）】

【例1】（2024?滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（）

A．无实数根 B．有两个不等的实数根

C．有两个相等的实数根 D．不能判定

【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可得出结论．

【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝25﹣48＝﹣23＜0，

∴2x2﹣5x+6＝0无实数根，

故选：A．

【变式1-1】（2024?梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（）

A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＞0，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．

【解答】解：∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：B．

【变式1-2】（2024春?长沙期末）关于x的一元二次方程x2

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．无实数根 D．不能确定

【分析】求出方程根的判别式，判断其值的正负即可得到结果．

【解答】解：方程x2﹣42x+9＝0，

∵Δ＝（﹣42）2﹣4×1×9＝32﹣36＝﹣4＜0，

∴方程没有实数根．

故选：C．

【变式1-3】（2024?保定一模）方程（x+3）（x﹣1）＝x﹣4的根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．没有实数根

【分析】先把方程化为一般式，再应用根的判别式进行计算即可得出答案．

【解答】解：（x+3）（x﹣1）＝x﹣4，

x2+x+1＝0，

a＝1，b＝1，c＝1，

Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，

所以原方程无实数根．

故选：D．

【题型2由根的判别式判断方程根的情况（含字母类）】

【例2】（2024春?钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（）

A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解

B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解

C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根

D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根

【分析】先计算Δ的值，利用k的值，可作判断．

【解答】解：关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，

Δ＝（k+3）2﹣4×1×（k+2）＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，

A、当k＝﹣1时，Δ＝0，此时方程有两个相等的实数解，故此选项错误；

B、因为Δ≥0，所以不存在k的值，使得使得方程没有实数解．故此选项错误；

C、解方程得：x1＝﹣1，x2＝﹣k﹣2，所以无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根﹣1，故此选项正确；

D、当k≠﹣1时，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误；

故选：C．

【变式2-1】（2024?南召县模拟）已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（）

A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根

B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根

C．当p＜0时，方程没有实数根

D．方程的根的情况与p的值无关

【分析】先将该方程整理成一般式，再求得其根的判别式为4p+9，再判断各选项的正确与否即可．

【解答】解：方程（x﹣1）（x+2）＝p可整理为x2+x﹣2﹣p＝0，

∴Δ＝12﹣4×1×（﹣2﹣p）＝1+8+4p＝4p+9．

当p＝0时，Δ＝4p+9＝9＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选项A不符合题意；

当p＞0时，Δ＝4p+9＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

故选项B符合题意；

当p＜0时，Δ的