专题2.3 三元一次方程组【七大题型】（教师版）-2023年七年级下册数学举一反三系列（浙教版）.docxVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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专注：心无旁骛，万事可破

专题2.3三元一次方程组【七大题型】

【浙教版】

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【题型1三元一次方程（组）的解】 1

【题型2用消元法解三元一次方程组】 3

【题型3用换元法解三元一次方程组】 6

【题型4构建三元一次方程组解题】 8

【题型5运用整体思想求值】 10

【题型6三元一次方程组中的数字问题】 13

【题型7三元一次方程组的应用】 18

【知识点1三元一次方程组及解法】

1．三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程组，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的的定义进行判断．

2．解三元一次方程组的基本思想是消元，通过代入或加减消，使三元化为二元或一元，转化为我们已经熟悉的问题．

3．当三元一次方程组中出现比例式时，可采用换元法解方程组．

【题型1三元一次方程（组）的解】

【例1】（2024·河南南阳·七年级期中）我们探究得方程x+y=2的正整数解只有1组，方程x+y=3的正整数解只有2组，方程x+y=4的正整数解只有3组，……，那么方程x+y+z=9的正整数解的组数是（????）

A．27 B．28 C．29 D．30

【答案】B

【分析】先把x+y看作整体t，得到t+x=9的正整数解有7组；再分析x十y分别等于2、3、4、……、9时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数．

【详解】解：令x+y=t（t≥2），则t+z=9的正整数解有7组（t=2，1=3，t=4，……，t=8）

其中t=x+y=2的正整数解有1组，

t=x+y=3的正整数解有2组，

t=x+y=4的正整数解有3组

……，

t=x+y=8的正整数解有7组，

总的正整数解组数为：1+2+3+…+7=28．

故选：B．

【点睛】本题考查了二元一次方程的解和三元一次方程的解，可将三元方程里的两个未知数看作一个整休，再分别计算．

【变式1-1】（2024·浙江·杭州市实验外国语学校七年级期中）已知x=1y=2z=3是方程组ax+by=2by+cz=3cx+az=7的解，则

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】A

【分析】把x=1y=2

【详解】解：根据题意，

把x=1y=2z=3代入方程组，得

由①+②+③，得4a+4b+4c=12，

∴a+b+c=3；

故选：A

【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算

【变式1-2】（2024·全国·八年级专题练习）方程x+2y+3z=14xyz

【答案】x=1

【分析】由x+2y+3z=14xyz，可得出x73，z

【详解】解：∵xyz，

∴2x2y

∴6xx+2y+3z=14

∴x7

同理可得：z

又∵x,y,z均为正整数

∴满足条件的解有且只有一组，即x=1

故答案为：x=1

【点睛】本题考查三元一次方程的变式，牢记相关的知识点并能够灵活应用是解题关键．

【变式1-3】（2024·全国·九年级专题练习）三元一次方程x＋y＋z＝1999的非负整数解的个数有（????）

A B C．2001000个 D．2001999个

【答案】C

【分析】先设x＝0，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；…当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可得到答案．

【详解】当x＝0时，y+z＝1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；

当x＝1时，y+z＝1998，有1999个整数解；

当x＝2时，y+z＝1997，有1998个整数解；

…

当x＝1999时，y+z＝0，只有1组整数解；

∴非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1＝2001×2000

故选：C．

【点睛】本题考查了二元一次方程、三元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程、三元一次方程、有理数运算的性质，从而完成求解

【题型2用消元法解三元一次方程组】

【例2】（2024·贵州·铜仁市第十一中学七年级阶段练习）方程组2x+3y?z=183x?2y+z=8

【答案】x=4

【分析】利用消元法解三元一次方程组即可得．

【详解】解：2x+3y?z=18①

由①+②得：5x+y=26④