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一元函数微分积分总结2024-01-26

目录CONTENTS微分学基本概念与性质积分学基本概念与性质微分中值定理及其应用积分中值定理及其应用微分方程初步知识无穷级数初步知识

01微分学基本概念与性质

微分定义及几何意义微分定义函数在某点的微分，是函数在该点因变量的增量与自变量的增量之比的极限，即当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量增量之商的极限。几何意义微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率，即函数在该点的导数。

可微性若函数在某点的左、右导数都存在且相等，则称该函数在该点可微。连续性若函数在某点的左、右极限都存在且等于该点的函数值，则称该函数在该点连续。关系函数在某点可微，则该函数在该点必定连续；但函数在某点连续，不一定可微。可微性与连续性关系030201

包括常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则等。基本微分法则微分运算遵循线性性质、乘法法则、除法法则以及复合函数的链式法则。运算规则微分法则与运算规则

高阶导数计算及应用在物理学、工程学等领域中，高阶导数常用来描述加速度、jerk（加速度的变化率）等物理量。此外，在经济学中，高阶导数可用于分析边际效益的变化趋势等。应用函数的一阶导数的导数称为二阶导数，二阶导数的导数称为三阶导数，以此类推，n-1阶导数的导数称为n阶导数。高阶导数定义逐次求导法、归纳法等。计算方法

02积分学基本概念与性质

定积分的定义设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有界，将区间$[a,b]$任意分割为$n$个小区间，每个小区间的长度记为$Deltax_i$，在每个小区间上任取一点$xi_i$，作和式$sum_{i=1}^{n}f(xi_i)Deltax_i$。当$lambda=max{Deltax_i}to0$时，如果和式的极限存在，则称此极限为函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的定积分，记作$int_{a}^{b}f(x)dx$。定积分的几何意义定积分$int_{a}^{b}f(x)dx$的几何意义是曲线$y=f(x)$与直线$x=a,x=b$及$x$轴所围成的平面图形的面积。当$f(x)geq0$时，定积分的值等于该平面图形的面积；当$f(x)leq0$时，定积分的值等于该平面图形面积的负值。定积分定义及几何意义

可积性定理若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上单调或有界且只有有限个第一类间断点，则$f(x)$在$[a,b]$上可积。连续性与可积性的关系连续函数一定可积，但可积函数不一定连续。例如，函数$f(x)=begin{cases}1,xinmathbb{Q}0,xnotinmathbb{Q}end{cases}$在$[0,1]$上可积，但不连续。可积性与连续性关系

积分的基本性质$int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=int_{a}^{b}f(x)dx+int_{a}^{b}g(x)dx$；$int_{a}^{b}kf(x)dx=kint_{a}^{b}f(x)dx$（其中$k$为常数）。积分运算法则$int_{a}^{b}[f(x)pmg(x)]dx=int_{a}^{b}f(x)dxpmint_{a}^{b}g(x)dx$；$int_{a}^{b}kf(x)dx=kint_{a}^{b}f(x)dx$；$int_{a}^{b}f(cx+d)dx=frac{1}{c}int_{ac+d}^{bc+d}f(u)du$（其中$cneq0$）。分部积分法设函数$u=u(x)$和$v=v(x)$具有连续导数，则$intudv=uv-intvdu$。积分法则与运算规则

不定积分计算技巧对于基本初等函数的导数，可以直接求出其原函数。例如，$intx^ndx=frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（其中$nneq-1$）。换元法通过变量代换简化被积函数的形式。常见的换元法有三角代换、根式代换等。例如，对于$intfrac{dx}{sqrt{a^2-x^2}}$，可以令$x=asint$进行三角代换。分部积分法将复杂的不定积分转化为两个简单的不定积分的乘积形式。例如，对于$intxe^xdx$，可以令$u=x,dv=e^xdx$进行分部积分。直接积分法

03微分中值定理及其应用

罗尔定理如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导，且$f(a)=f(b)$，则至少存在一点$cin(a,b)$，使得$f(c)=0$。拉格朗日中值定理如果函数