511005比例线段（基础） 知识讲解.docVIP

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比例线段（基础）知识讲解

责编：常春芳

【学习目标】

1、了解相似的图形及相似多边形的概念及性质；

2、了解两条线段的比和比例线段的概念并能根据条件写出比例线段；

3、会运用比例线段解决简单的实际问题；

4、掌握黄金分割的定义并能确定一条线段的黄金分割点.

【要点梳理】

要点一、相似形

1.相似的图形

在数学上，我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形.

要点诠释：

(1)相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等形.

2.相似多边形

一般地，两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边长度的比相等，那么这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比或相似系数.

要点诠释：

相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．

要点二、比例线段

1.两条线段的比：用同一个长度单位去度量两条线段a，b，得到它们的长度，我们把这两条线段长度的比叫做这两条线段的比.记作或a:b.

2．成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段a，b的比等于另外两条线段c，d的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．这时，线段叫做组成比例的项，线段叫做比例外项，线段叫做比例内项.

如果作为比例内项的两条线段是相等的，即之间有，那么线段b叫做线段的比例中项.

3．比例的性质：

（1）基本性质

如果，那么（≠0）.

反之也成立，即

如果，那么（≠0）.

（2）合比性质

如果（≠0）

（3）等比性质

如果，≠0，那么.

要点诠释：

（1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比；

（2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；

（3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．

要点三、黄金分割

1.定义：把一条线段分成两部分，使其中较长线段为全线段与较短线段的比例中项这样的线段分割叫做黄金分割，分割点叫做这条线段的黄金分割点，比值叫做黄金数.

要点诠释：

≈0.618.

2.作一条线段的黄金分割点：

图4－7

如图，已知线段AB，按照如下方法作图：

（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB.

（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.

（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.

要点诠释：

一条线段的黄金分割点有两个.

【典型例题】

类型一、相似形

1.指出下列各组图中，哪些组肯定是相似形__________：

(1)两个腰长不等的等腰三角形

(2)两个半径不等的圆

(3)两个面积不等的矩形

(4)两个边长不等的正方形

【思路点拨】要注意：（1）相似的图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

（2）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．

【答案】(2)(4).

【解析】(1)等腰三角形的形状不一定相同，因此两个腰长不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面积不等的两个矩形，虽然它们的边数相同，对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以无法确定它们一定相似；

(2)(4)中两个半径不等的圆与两个边长不等的正方形都是形状完全相同的图形，是相似形.

【总结升华】识别两个图形是否是相似形，可以从形状来识别，对于多边形，也可以用“对应角相等，对应边的比相等”来识别.

举一反三：

【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似的吗？

?

【答案】这两个图形是相似的，这两个图形形状是一样，对应线段的比都是1:2，虽然它们的摆放方法、位置不一样，但这并不会影响到它们相似性.

类型二、比例线段

2.下列四组线段中，成比例线段的有()

A．3cm、4cm、5cm、6cmB．4cm、8cm、3cm、5cm

C．5cm、15cm、2cm、6cmD．8cm、4cm、1cm、3cm

【答案】C.

【解析】四个选项中只有，故选C.

【总结升华】根据成比例线段的定义.

举一反三：

【变式】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：

(1)a=4，b=6，c=5，d=10；

(2)a=2，b=，c=，d=．

【答案】(1)∵，，