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二次根式的乘除（基础）知识讲解

撰稿：孙景艳审稿：吴婷婷

【学习目标】

1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.

2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.

【要点梳理】

要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根

1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.

要点诠释：

(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：

≥0，≥0，…..≥0）.

(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.

2.积的算术平方根:

（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.

要点诠释：

(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；

(2)与都是的算术平方根；

(3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.

要点二、二次根式的除法及商的算术平方根

1.除法法则：（≥0，0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.

要点诠释：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，0，因为b在分母上，故b不能为0；

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

2.商的算术平方根:

（≥0，0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

要点诠释：与都是的算术平方根.

要点三、最简二次根式

（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

（2）被开方数中不含有分母；

（3）分母中不含有根号.

满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.

要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1)被开方数是分数或分式；

（2）含有能开方的因数或因式.

【典型例题】

类型一、二次根式的乘除法

1．(1)×；(2)×；(3)；(4).

【答案与解析】

解：(1)×=；

(2)×==；

(3)===2；

(4)==×2=2.

【总结升华】直接利用，

计算即可．

举一反三：

【变式】各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)；

(2)×=4××=4×=4=8.

【答案】

解：(1)不正确．

改正：=＝×=2×3=6；

(2)不正确．

改正：×=×===＝4.

【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例9（1），（2）】

2.计算：（1）；（2）.

【思路点拨】在进行二次根式的乘除时注意：根号外和根号内的因式分别相乘除，最终计算结果要化为最简形式.

【答案与解析】

解：（1）=6=1；

（2）原式==.

【总结升华】掌握乘除运算的法则，并能灵活运用.

类型二、最简二次根式

3.下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.

(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).

【思路点拨】最简二次根式要满足三个条件：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

（2）被开方数中不含有分母；（3）分母中不含有根号.

【答案与解析】

解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：

的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；

和的被开方数中都含有分母；

和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.

【总结升华】判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的三个条件，不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.

举一反三：

【变式】化简：

（1）；

【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例6（12）】

（2）.

【答案】(1)原式==；

（2）原式=.

4.已知0,化简.

【答案与解析】

解：原式＝＝

＝

【总结升华】成立的条件是0；若0,则.