《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）[004].docVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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《圆》全章复习与巩固—知识讲解（基础）

责编:常春芳

【学习目标】

1.通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；

2.理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系；探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；

3.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线；

4.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；

5.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、旋转

1.旋转的概念：在平面内，一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.如下图，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AOA′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.

要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.

2.旋转的性质:(1)对应点到旋转中心的距离相等（OA=OA′）；

(2)两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；

(3)旋转中心是唯一不动的点；

(4)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△).

要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.

3.旋转对称图形:在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定角度θ（0°＜θ＜360°）后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形.

4.特殊的旋转—中心对称

(1)中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

(2)中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形,而中心对称指的是两个图形的关系；

（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.

要点二、圆的基本性质

1．圆的定义

(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.

(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

要点诠释：

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；

②圆是一条封闭曲线.

2．圆的性质

(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.

在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等.

(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.

(3)垂径定理及推论：

①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.

④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.

⑤平行弦夹的弧相等.

要点诠释：

在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）

3．圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆.

要点三、圆周角

1.圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.

2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.

推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.

要点诠释：

(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.

(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.

要点四、直线与圆的位置关系

1．直线和圆的位置关系

设⊙O半径为R，点O到直线的距离为.

(1)直线和⊙O没有公共点直线和圆相离.

(2)直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切.

(3)直