角的平分线的性质（提高）知识讲解[002].docVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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角的平分线的性质（提高）

责编：杜少波

【学习目标】

1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．

2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．

3.熟练运用角的平分线的性质解决问题．

【要点梳理】

【高清课堂：388612角平分线的性质，知识要点】

要点一、角的平分线的性质

角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的性质定理：

若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.

要点二、角的平分线的判定

角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

要点诠释：

用符号语言表示角的平分线的判定：

若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB

要点三、角的平分线的尺规作图

角平分线的尺规作图

（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.

（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.

（3）画射线OC.

射线OC即为所求.

要点四、三角形角平分线的性质

三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.

三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.

【典型例题】

类型一、角的平分线的性质及判定

1、（?新洲区期末）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．

（1）求证：PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．

【思路点拨】（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，根据角平分线性质求出PQ=PS=PT，根据角平分线性质得出即可；

（2）根据ASA求出△AED≌△AEC即可．

【答案与解析】

证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，

∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，

∴PQ=PT，PS=PT，

∴PQ=PS，

∴AP平分∠DAC，

即PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，

∴∠DAE=∠CAE，

∵CE⊥AP，

∴∠AED=∠AEC=90°，

在△AED和△AEC中

∴△AED≌△AEC，

∴CE=ED．

【总结升华】本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出PQ=PS和△AED≌△AEC，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．

举一反三：

【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.

求证：BE＝CF.

【答案】

证明：∵DE⊥AE，DF⊥AC，AD是∠BAC的平分线，

∴DE＝DF，∠BED＝∠DFC＝90°

在Rt△BDE与Rt△CDF中，，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）

∴BE＝CF

2、如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为：（）

A.11B.5.5C.7D.3.5

【答案】B；

【解析】

解：过D点作DH⊥AC于H，

∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，DH⊥AC

∴DF＝DH

在Rt△EDF和Rt△GDH中

DE＝DG，DF＝DH

∴Rt△EDF≌Rt△GDH

同理可证Rt△ADF和Rt△ADH

∴

∴＝50－39＝11，

∴△EDF的面积为5.5

【总结升华】本题求△EDF的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG和△AED的面积来表示△EDF面积.

【高清课堂：388612角平分线的性质，例6】

3、如图，AC=DB，△PAC与△PBD的面积相等．求证：OP平分∠AOB．

【思路点拨】观察已知条件中提到的三角形△PAC与△PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可