427597《一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法》—知识讲解（提高）.docVIP

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《一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法》

—知识讲解（提高）

责编：常春芳

【学习目标】

1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；

2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；

3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

【要点梳理】

要点一、公式法解一元二次方程

1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，当时，.

2.一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式：．

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当时，原方程有两个相等的实数根；

③当时，原方程没有实数根.

3.用公式法解一元二次方程的步骤

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值（要注意符号）；

③求出的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.

要点诠释：

（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.

（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：;

①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：;

②当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：;

③当时，右端是负数．因此，方程没有实根.

要点二、因式分解法解一元二次方程

1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.

要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次

因式的积；

（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；

（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.

【典型例题】

类型一、公式法解一元二次方程

1．解关于x的方程．

【答案与解析】

(1)当m+n＝0且m≠0，n≠0时，原方程可化为．

∵m≠0，解得x＝1．

(2)当m+n≠0时，

∵，，，

∴，

∴，

∴，．

【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．

举一反三：

【高清ID号：388515

关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程例2练习】

【变式】解关于的方程；

【答案】原方程可化为

∵

∴

∴

∴

2．用公式法解下列方程：(m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m；

【答案与解析】

方程整理为，

∴，∴a＝1，b＝-2，c＝-13，

∴，

∴，

∴，．

【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.

举一反三：

【高清ID号：388515

关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程例5（3）】

【变式】用公式法解下列方程：

【答案】∵

∴

∴

∴

类型二、因式分解法解一元二次方程

3．（?荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）

A．7 B．10 C．11 D．10或11

【思路点拨】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过因式分解法解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．

【答案】D

【解析】

解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，

解得m=6，

则原方程为x2﹣7x+12=0，

解得x1=3，x2=4，

因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，

①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；

②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．

综上所述，该△ABC的周长为10或11．

故选：