专题2.4 等腰三角形【八大题型】（教师版）-2023年八年级上册数学举一反三系列（浙教版）.docxVIP

专注：心无旁骛，万事可破

专注：心无旁骛，万事可破

PAGE/NUMPAGES

专注：心无旁骛，万事可破

专题2.4等腰三角形【八大题型】

【浙教版】

TOC\o1-3\h\u

【题型1利用等腰三角形的性质求角度】 1

【题型2利用等腰三角形的性质求线段长度】 5

【题型3等腰三角形中的多结论问题】 8

【题型4利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】 15

【题型5等腰三角形的证明】 18

【题型6等腰三角形中的新定义问题】 24

【题型7等腰三角形中的规律问题】 27

【题型8等腰三角形中的动点问题】 29

【知识点1等腰三角形】

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性质

①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.

【题型1利用等腰三角形的性质求角度】

【例1】（2024?南关区校级开学）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的顶角等于（）

A．15°或75° B．30° C．150° D．150°或30°

【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．

【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图，

高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180°﹣90°﹣60°＝30°，

②当为钝角三角形时可画图，

此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°，

由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°，

∴三角形的顶角为180°﹣30°＝150°．

故选：D．

【变式1-1】（2024秋?南昌期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABM＝∠CBN，MN＝BN，则∠MBC的度数为（）

A．45° B．50° C．55° D．60°

【分析】设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y，可得∠ABC＝2x+y，根据MN＝BN，有∠BMN＝∠MBN＝y，故∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x，又AB＝AC，得∠C＝∠ABC＝2x+y，根据∠A+∠ABC+∠C＝180°，得（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，即得x+y＝60°，故∠MBC＝60°．

【解答】解：设∠ABM＝∠CBN＝x，∠MBN＝y，

∴∠ABC＝2x+y，

∵MN＝BN，

∴∠BMN＝∠MBN＝y，

∴∠A＝∠BMN﹣∠ABM＝y﹣x，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC＝2x+y，

∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，

∴（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，

∴3x+3y＝180°，

∴x+y＝60°，

∴∠CBN+∠MBN＝60°，

即∠MBC＝60°，

故选：D．

【变式1-2】（2024春?柯桥区期末）在△ABC中，已知D为直线BC上一点，若∠ABC＝α，∠BAD＝β，且AB＝AC＝CD，则β与α之间不可能存在的关系式是（）

A．β＝90°?32α B．β＝180°?32α C．β=32

【分析】分点D在线段BC上，在BC延长线上，在CB延长线上讨论，根据外角和等于不相邻的两个内角和及三角形内角和定理可求β与α的等量关系式．

【解答】解：当点D在线段BC上，

∵∠ABC＝α，CA＝AB，

∴∠C＝∠ABC＝α，

∵CD＝CA，

∴∠ADC＝∠CAD=180°?∠C2=90°

∵∠ADC＝∠B+∠BAD，

∴90°?12α＝α+

即β＝90°?32

当点D在线段BC的延长线上，

同理可得：β＝180°?32

当点D在线段CB的延长线上，

同理可得：β=32

故选：D．

【变式1-3】（2024春?抚州期末）已知∠ABC＝30°，点P是射线BC上一动点，把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，当△ABP是等腰三角形时，∠ABD的度数为60°或30°或15°．

【分析】如图1，当PA＝PB时，如图2，当AB＝AP时，如图3，当BA＝BP时，根据三角形的内角和定理，折叠的性质，以及等腰三角形的性质分类进行讨论即可求解．

【解答】解：如图1，当PA＝PB时，

∵∠ABC＝30°，

∴∠BAP＝30°，

∵把△ABP沿AP折叠，B点的对应点为点D，

∴