第08讲 二次函数的应用-【帮课堂】2024-2023九年级数学下册同步讲义（北师大版）_第08讲 二次函数的应用（解析版）.docxVIP

专注：心无旁骛，万事可破

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专注：心无旁骛，万事可破

第08讲二次函数的应用

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课程标准

1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，提高解决问题的能力。

2.通过求最大面积、最大利润等问题，体会二次函数是一类解决最优化问题的数学模型。

知识精讲

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知识点01列二次函数解应用题

列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤：

(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)．

(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确．

(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数．

(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案．

(6)写出答案．

知识点02建立二次函数模型求解实际问题

一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；

(2)将已知条件转化为点的坐标；

(3)合理地设出所求函数关系式；

(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；

(5)利用关系式求解问题．

注意：

(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题：

①首先必须了解二次函数的基本性质；

②学会从实际问题中建立二次函数的模型；

③借助二次函数的性质来解决实际问题.

知识点03利用二次函数求图形面积的最值问题

一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面积。

求矩形的最大面积时，通常用含有自变量x的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公式构造关于x的二次函数，再结合二次函数的图象和性质，利用公式法或配方法求出二次函数的最大值，同时要注意自变量的取值范围。

知识点04利用二次函数求最大利润问题

（1）利润问题是本节的重点问题之一，在日常生活中经常出现，是考试热点。对于这类问题，只要审清题意，记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题。

①每件的利润=销售单价-成本单价；

②总利润=总销售价-总成本价=每件利润×销售量。

（2）利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：

①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入；

②用含自变量的代数式表示销售商品的成本；

③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式；

④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。

知识点05利用二次函数解决抛物线型建筑物问题

这类问题所给的问题情境常有一个抛物线型物体，比如拱桥或隧道这些问题都可以通过构造二次承数的表达式来解决，解决这类问题般是利用数形结合思想和函数思想。

1．一般解题思路

(1)在示意图中建立适当的平面直角坐标系，将题目中所给条件转化平面直角坐标系中的坐标。

(2)根据图中坐标利用待定系数法求得二次函数的表达式。

(3)由二次函数的性质去分析解决问题，检验问题的结果是否符合实标意义，并作答。

2．卡车过拱桥(隧道)问题

在问题中，抛物线的函数表达式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来，求出函数表达式后有两种方法可以判断卡车能否从桥下通过：

(1)固定卡车的宽，看桥是否足够高（即相当于已知x的值，根据函数表达式求y的值，然后与限制的高的值比较大小）；

(2)固定卡车的高，看桥是否足够宽（即相当于已知y的值，根据函数表达式求x的值，然后与限制的宽的值比较大小）

能力拓展

能力拓展

考法01求几何图形面积的最值

【典例1】如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（）

A．8 B．15 C．16 D．64

【答案】C

【解析】解：∵矩形周长为16，

∴设一条边长x，矩形面积为y，则另一边长为8-x，

∴y=（8-x）x=-x2+8x=-（x-4）2+16，

∴当x=4时，y有最大值是16．

故选：C．

【即学即练】有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为的篱