《导数及其应用》知识点总结 .doc

《导数及其应用》知识点总结

一、导数的概念和几何意义

1.函数的平均变化率：函数在区间上的平均变化率为：。

2.导数的定义：设函数在区间上有定义，，若无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称函数在处可导，并称该常数A为函数在处的导数，记作。函数在处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3.求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量；（2）求平均变化率：；（3）取极限，当无限趋近与0时，无限趋近与一个常数A，则.

4.导数的几何意义：

函数在处的导数就是曲线在点处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：

（1）求出在x0处的导数，即为曲线在点处的切线的斜率；

（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为。

当点不在上时，求经过点P的的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线在点处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为。

5.导数的物理意义：

质点做直线运动的位移S是时间t的函数，则表示瞬时速度，表示瞬时加速度。

二、导数的运算

1.常见函数的导数：

（1）(k,b为常数)； （2）(C为常数)；

（3）； （4）；

（5）； （6）；

（7）； （8）（α为常数）；

（9）； （10）；

（11）； （12）；

（13）； （14）。

2.函数的和、差、积、商的导数：

（1）；

（2）（C为常数）；

（3）；

（4）。

3.简单复合函数的导数：

若，则，即。

三、导数的应用

1.求函数的单调性：

利用导数求函数单调性的基本方法：设函数在区间内可导，

（1）如果恒，则函数在区间上为增函数；

（2）如果恒，则函数在区间上为减函数；

（3）如果恒，则函数在区间上为常数函数。

利用导数求函数单调性的基本步骤：=1\*GB3①求函数的定义域；=2\*GB3②求导数；

=3\*GB3③解不等式，解集在定义域内的不间断区间为增区间；=4\*GB3④解不等式，解集在定义域内的不间断区间为减区间。

反过来,也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题（如确定参数的取值范围）：

设函数在区间内可导，

(1)如果函数在区间上为增函数,则(其中使的值不构成区间)；

(2)如果函数在区间上为减函数,则(其中使的值不构成区间)；

(3)如果函数在区间上为常数函数,则恒成立。

2.求函数的极值：

设函数在及其附近有定义，如果对附近的所有的点都有（或），则称是函数的极小值（或极大值）。

可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：

（1）确定函数的定义域；（2）求导数；（3）求方程的全部实根，，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，和值的变化情况：

x

…

正负

0

正负

0

正负

单调性

单调性

单调性

（4）检查的符号并由表格判断极值。

3.求函数的最大值与最小值：

如果函数在定义域I内存在，使得对任意的，总有，则称为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。

求函数在区间上的最大值和最小值的步骤：

（1）求在区间上的极值；

（2）将第一步中求得的极值与比较，得到在区间上的最大值与最小值。

4.解决不等式的有关问题：

（1）不等式恒成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。

的值域是时，

不等式恒成立的充要条件是，即；

不等式恒成立的充要条件是，即。

的值域是时，

不等式恒成立的充要条件是；

不等式恒成立的充要条件是。

（2）证明不等式可转化为证明，或利用函数的单调性，转化为证明。

5.导数在实际生活中的应用：

实际生活求解最大（小）值问题，通常都可转化为函数的最值.在利用导数来求函数最值时，一定要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。

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