《不等式选讲》知识点详解例题习题(含详细答案).doc

选修4－5不等式选讲

最新考纲：1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.3.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．

1．含有绝对值的不等式的解法

(1)|f(x)|a(a0)?f(x)a或f(x)－a；

(2)|f(x)|a(a0)?－af(x)a；

(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．

2．含有绝对值的不等式的性质

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

问题探究：不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中，“＝”成立的条件分别是什么？

提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.

3．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a、b为正数，则eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立．

定理3：如果a、b、c为正数，则eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

定理4：(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

4．柯西不等式

(1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．

(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(eq\i\su(i＝1,n,a)eq\o\al(2,i))(eq\i\su(i＝1,n,b)eq\o\al(2,i))≥(eq\i\su(i＝1,n,a)ibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．

(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．

1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当ab0时等号成立．()

(2)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．()

(3)|ax＋b|≤c(c0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.()

(4)不等式|x－1|＋|x＋2|2的解集为?.()

(5)若实数x、y适合不等式xy1，x＋y－2，则x0，y0.()

[答案](1)×(2)√(3)√(4)√(5)√

2．不等式|2x－1|－x1的解集是()

A．{x|0x2} B．{x|1x2}

C．{x|0x1} D．{x|1x3}

[解析]解法一：x＝1时，满足不等关系，排除C、D、B，故选A.

解法二：令f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥\f(1,2)，,1－3x，x\f(1,2)，))则f(x)1的解集为{x|0x2}．

[答案]A

3．设|a|1，|b|1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是

()

A．|a＋b|＋|a－b|2 B．|a＋b|＋|a－b|2

C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小

[解析]|a＋b|＋|a－b|≤|2a

[答案]B

4．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)的最大值为()

A．1 B．eq\r(2)

C.eq\r(3) D．2

[解析](eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))2＝(1×eq\r(a)＋1×eq\r(b)＋1×eq\r(c))2≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.

当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时，等号成立．

∴(eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c))2≤3.

故eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)的最大值为eq\r(3).故应选C.

[答案]C

5．若存在实数