CAD中变次数B样条的广义...Boor-Cox公式的研究.pdf

摘要

摘要

在计算机辅助几何设计领域中，B样条作为自由曲线曲面造型中一种成熟的工具，

其基函数是定义在参数区间上的分段多项式，构成了相应分段多项式空间内唯一规范化

B基.并且B样条的基函数可以通过著名的deBoor-Cox公式计算，这是B样条得到广

泛应用的关键原因.然而B样条在不同段上的次数必须相同，在实际的曲线设计中，往

往需要用高次多项式来组合表示低次多项式，造成了数据的浪费.变次数B样条允许基

函数在不同段上具有不同的次数，与B样条基一样，为所在空间的唯一规范化B基，是

B样条的一种直接拓展.但是其基函数由积分递推定义，计算效率不高.在大多数情况下，

对于变次数B样条函数并不存在类似B样条的deBoor-Cox公式.因此需要更高效的计

算变次数B样条基函数的方法，本文对此做了以下工作：

(1)提出了一种基于Bernstein基表示的变次数B样条基函数生成算法，计算变次数

B样条函数在Bernstein基下的坐标，用向量或者矩阵储存起来，结合Bernstein基的表

达式，即可得到变次数B样条基函数.与已有文献中的计算基函数算法不同，本文的算

法过程采用递推的方式，能够计算部分或者整组变次数B样条基函数.这种计算基函数

的思想与传统的样条一致，区别在于在递推过程中用向量代替多项式，可以利用变次数

B样条基函数的局部支撑性快速计算基函数在某些点处的值.通过数值实验验证了了其

拥有较好的数值精度和较高的运行效率.

(2)提出了变次数B样条的两种广义deBoor-Cox公式.第一种是保持结构的多层广

义deBoor-Cox公式，保持了deBoor-Cox公式中低次基函数与系数多项式相乘的结构，

涉及的变次数B样条函数不限于相邻的两个次数递推层，相当于B样条函数使用若干

次deBoor-Cox公式的结果.这种公式着重于描述递推过程中的处于不同递推层的变次数

B样条函数之间的关系.系数多项式可以由变次数B样条基表示矩阵生成算法的中间

结果得出.第二种是保持系数的单层广义deBoor-Cox公式.与deBoor-Cox公式一致，

高次基函数表示为一次多项式和低次函数的乘积.低次函数是根据低次的变次数B样条

函数构造的函数，并且构造方法不唯一.本文根据多项式的泰勒展开性质和Bernstein基

表示理论构造出两种过渡函数.B样条的deBoor-Cox公式的递推流程呈一个金字塔形，

称为金字塔算法.使用第二种广义deBoor-Cox公式计算变次数B样条基的递推流程由

一些不同高度的金字塔形组成，并且增加了构造过渡函数的过程，称为金字塔丛算法.

关键词：B样条；变次数B样条；deBoor-Cox公式；金字塔算法；Bernstein基

I

Abstract

Abstract

Inthefieldofcomputer-aidedgeometricdesign,B-splineisamaturetoolforfree-form

curveandsurfacemodeling.Itsbasisfunctionsarepiecewisepolynomialsdefinedonparameter

intervals,whichformtheuniquenormalizedB-basiswithinthecorrespondingpiecewise

polynomialspace.AndthebasisofB-splinescanbecalculatedbythefamousdeBoorCox

formula,whichisthekeyreasonwhyB-