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大学物理力学
——第四篇:运动的质量
清华大学电子工程系
导论:做功和能量是力学研究中的一个永恒的主题。从功能原理,到动能定理,到机械能守恒,到能量守恒,似乎已经成为了我们我学习力学的一贯路径。但是本文毕竟不是正版教材,因此不会按常规套路出牌。我们将从不同于上述套路的几个方面来讨论功和能量。
由于我们以前主要是以地作为参考系,而且只研究单个质点,对于非惯性系和质点系统的认识还不够。本文将主要从这几个方面展开。
首先介绍几个定义:
保守力和耗散力(或称非保守力):
保守力:做功和路径无关,只与始末位置有关的力叫做保守力。保守力都有其对应的势能。如:重力,静电场力等。
耗散力:做功和路径有关,而且通常伴随的是系统能量的减少(耗散)的力称为耗散力。耗散力无所谓势能。如:摩擦力。
质心系:与一个质点系统的质心固连的参考系叫做质心系。质心系威力之巨大,令人发指。许多力学问题在地面系中无从下手,但在质心系中,只在弹指一笑之间。(它是个零动量参考系,即在此参考系中观测到的系统的总动量为)
内力和外力:
内力:系统内部的成员之间的相互作用称为内力。
外力:系统内部成员以外的质元对系统内部成员的作用力称为外力。
(4)恢复系数:实际物体都不是完美的刚体。两物体碰撞后的相对速度一般都比碰前要小。碰后速度同碰前速度的比值称为恢复系数。
其次给出几个基本定理:
非惯性系的功能原理:
地参考系中的功能原理:
一个质点系,以地为参考系:外界对系统所做的功=系统能量的变化。
非惯性系中的功能原理:
由于我们研究范围暂不涉及其他能量,因此右侧的特指机械能。
*质点系的动能定理(和《教程》不一样):
假设一个质点系有个质点,对其中的第个质点用动能定理:
将系统内的所有质点的方程加起来,得到:
即:在某个过程中,外力对系统所做的功和内力所做的功的和=质点系统总的动能的变化。
(这个讨论和《教程》不一样,仅作参考,如有谬误,请付之一笑)
非惯性系中的动能定理:
加个惯性力以后就和我们经常说的动能定理一样了。
(真实力+惯性力)对质点所做的功=质点动能的变化
质点系的柯尼希定理
(描述质点系在地参考系中的动能和在质心系中的动能的关系):
注:下式中表示对地动能,表示对质心系动能。表示对地速度,表示对质心系速度,表示质心的速度。为第个质点的质量,为整个系统的总质量。表示质心系的质元个数。
上式利用了一个结论:
质心系是零动量参考系,
即得到:
瞬时的巨大作用(碰撞和爆炸):
通常认为此过程动量守恒,能量不守恒(但是有个恢复系数)。大家通常习惯于列两个方程:动量守恒+能量关系。实际上这里面蕴含了一个重大的秘密:上面那个二次方程组,不好解,我们可以写作一个格式,但不用去解它。上面的方程组在物理意义上等价于:
=1\*GB4㈠动量守恒=2\*GB4㈡远离速度=接近速度
很多人不禁会问,二次方程组应该有两组解,怎么会等价于两个线性方程呢。我想反问一句,每次做这种题解出来俩解,你的答案一般是一个呢?还是两个呢?
那就让我们进入魔幻的能量题海吧:
(每次都能看到这一题)两个等高的小定滑轮相距为m,物块A和B的质量都是1kg,物块C的质量为1.9kg。初始时两滑轮间的细绳水平,系统静止。假设绳和滑轮的质量均不计,且不计滑轮轴上的摩擦。当C下降0.75m时,试问:
(1)A、B、C的速度分别是多少。
(2)A、B、C的加速度分别是多少。
解答:本题很多辅导材料上都有,但有很多都是解错的。错误的原因一般都在于:他们认为第二小问答案是0。下面将证明这是不对的。
在题文中研究的时刻,易得以下几何关系:
思路:一个机械能守恒就解决问题了。注意二者的速度关系即可。中间物块沿绳方向的分速度等于旁边物块的速度。然后就是
势能减少量=动能增加量
所求A、B、C的速度分别记作,有机械能守恒:
还有个速度牵连:
代入有关数据,解得:
设绳中张力为T,左右的小物块的加速度为,中间的小物块的速度为。则有动力学方程:
下面便是比较容易错的一步:
有平面极坐标方程下的加速度表达式:
径向加速度:
整理后得到:
从这个结果我们惊奇地发现:
速度最大的点还不在这里,那个位置应该在更下方的位置。至于具体位置,还有待笔者的进一步计算。
如下图所示,假设地面光滑。三个半径均为r,质量分别为m、、的球叠放在一起,他们之间的摩擦力忽略不计。试求解当小球A落地时它的速度为多少?
解答:如下图所示为角位置为时的情况,假设此时A、B两球即将分离,则根据机械能守恒定律得到:
沿直线方向速度相等:
由于即将分离,二者之间没有相互作用力:
取B做参考系,则此系为一惯性系。
A相对于它作圆周运动,相对速度:
列出A的动力学方程:
解得:
此后A与另外两个球分道扬镳
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