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随机微积分2024-01-25

CATALOGUE目录随机过程基本概念布朗运动与随机分析离散时间随机过程连续时间随机过程随机微积分在金融中应用总结与展望

01随机过程基本概念

随机过程是一族依赖于参数（通常是时间）的随机变量，用于描述随机现象随时间的演变。根据随机过程的性质，可以将其分为平稳随机过程、独立增量过程、马尔可夫过程等。随机过程定义与分类随机过程的分类随机过程的定义

概率空间的定义概率空间是一个包含所有可能事件及其概率的三元组，用于描述随机试验的结果。随机变量的定义随机变量是从概率空间到实数空间的可测函数，用于将随机试验的结果数量化。概率空间与随机变量

分布函数的定义分布函数是描述随机变量取值概率的函数，通常用于表示随机变量的统计特性。概率密度的定义概率密度是描述连续型随机变量取值概率的函数，其积分值等于随机变量落入某一区间的概率。分布函数与概率密度

03协方差的定义协方差是描述两个随机变量之间线性相关程度的量，等于两个随机变量与各自期望之差乘积的期望。01期望的定义期望是描述随机变量平均取值水平的量，等于随机变量所有可能取值与其对应概率的乘积之和。02方差的定义方差是描述随机变量取值波动程度的量，等于随机变量与期望之差的平方的期望。期望、方差和协方差

02布朗运动与随机分析

03布朗运动的轨迹是连续的，但其导数（即速度）几乎处处不存在。01布朗运动是一种连续时间随机过程，描述微小粒子在气体或液体中受到分子的无规则、连续、随机碰撞而产生的运动。02布朗运动具有无记忆性，即过去的行为不会影响未来的行为，也称为马尔可夫性质。布朗运动定义及性质

伊藤公式是随机分析中的基本定理，用于计算随机过程的函数的微分。伊藤公式在金融数学中有着重要的应用，如用于推导期权定价公式（如Black-Scholes公式）。伊藤公式还可以应用于随机控制、随机微分方程等领域。伊藤公式及其应用

随机微分方程简介随机微分方程是描述随机过程动态行为的数学模型，其中包含随机噪声项。随机微分方程在金融、物理、生物等领域有着广泛的应用，如描述股票价格、粒子扩散、生物种群动态等。随机微分方程的解通常是一个随机过程，其性质可以通过概率论和随机分析的方法进行研究。

123数值解法是通过数值计算的方法求解随机微分方程的近似解，常用的方法包括欧拉法、米尔斯坦法等。模拟方法是通过计算机模拟随机过程的方法，可以生成随机微分方程的样本路径，进而研究其统计性质。数值解法和模拟方法在金融工程、计算物理等领域有着广泛的应用。数值解法与模拟方法

03离散时间随机过程

马尔可夫链定义马尔可夫链是一种随机过程，其中每个状态的未来演变仅依赖于其当前状态，而与过去状态无关。状态空间与转移概率马尔可夫链的状态空间可以是有限或无限的，转移概率描述了从一个状态转移到另一个状态的可能性。马尔可夫性质马尔可夫性质是指随机过程的未来状态仅与当前状态有关，而与过去状态无关的特性。马尔可夫链基本概念

平稳分布是指马尔可夫链在长时间运行后达到的稳定状态分布，即该分布不再随时间变化。平稳分布定义遍历性定理指出，对于不可约且非周期的马尔可夫链，无论初始状态如何，随着时间的推移，其分布将逐渐接近唯一的平稳分布。遍历性定理收敛速度描述了马尔可夫链达到平稳分布的速率，而混合时间则是指从任意初始状态开始，达到接近平稳分布所需的时间。收敛速度与混合时间平稳分布与遍历性定理

M/M/1排队模型M/M/1排队模型是最简单的排队模型之一，其中顾客到达服从泊松分布，服务时间服从指数分布，且只有一个服务台。排队性能指标排队性能指标包括平均队长、平均等待时间、服务台忙期等，用于评估服务系统的性能。排队论基本概念排队论是研究服务系统中顾客到达、等待和服务时间等随机现象的数学理论。排队论模型简介

离散时间鞅的定义与性质离散时间鞅是在离散时间点上取值的随机过程，满足一定的条件期望性质。其性质包括鞅的收敛性、停时定理等。鞅的应用举例鞅在概率论、统计学、金融数学等领域有广泛应用，如赌博游戏中的策略分析、股票价格预测等。鞅的基本概念鞅是一种特殊的随机过程，具有在某种条件下的“公平性”或“无偏性”。离散时间鞅论基础

04连续时间随机过程

泊松过程是一种计数过程，用于描述在连续时间或空间内随机事件的发生次数。它具有独立增量性、平稳增量性等性质。泊松过程的定义和性质指数分布是描述泊松过程中相邻两个事件发生时间间隔的分布。它与泊松过程紧密相连，共同构成了描述随机事件发生的完整数学模型。指数分布与泊松过程的关系泊松过程在排队论、可靠性理论、保险精算等领域有广泛应用。例如，在排队论中，可以用泊松过程描述顾客到达服务台的时间间隔。泊松过程的应用泊松过程与指数分布

更新过程的定义更新过程是描述相邻两个事件发生时间间隔的随机过程。与泊松过程不同，更新过程中的事件间