人教版八年级数学RJ下册精品教案 第17章 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理.docVIP

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17.2勾股定理的逆定理

教师备课素材示例

●类比导入问题1：你能说出勾股定理吗？指出定理的题设和结论．

题设：如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，结论：a2＋b2＝c2.

【教学与建议】教学：通过复习勾股定理，交换题设和结论，自然合理地引出勾股定理的逆定理．建议：教学时，应该多让学生交流讨论前面学习逆定理的经验．

●悬念激趣同学们，你们是如何画直角的？想知道古埃及人是如何画直角的吗？

古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形．你认为这个三角形是直角三角形吗？

操作：以小组为单位动手操作，观察，做出合理的推断．

【教学与建议】教学：介绍前人经验，启发思考，动手操作，锻炼了学生动手实践、观察探究的能力．建议：小组为单位动手操作，讨论交流判断结果．

用勾股定理的逆定理判定直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边长的平方即可．

【例1】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(A)

A．7，24，25B．1，2，3C．5，6，7D．4，8，13

【例2】已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(B)

A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形

建立数学模型，灵活运用勾股定理的逆定理构造直角三角形，然后在直角三角形中运用勾股定理或逆定理求出要求的线段长．

【例3】如图，AD＝8，CD＝6，∠ADC＝90°，AB＝26，BC＝24，求该图形的面积．

解：连接AC.在Rt△ACD中，AD＝8，CD＝6，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝10.在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝262＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∴图形面积为S△ABC－S△ACD＝eq\f(1,2)×10×24－eq\f(1,2)×6×8＝96.

勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．必须满足两个条件：①满足a2＋b2＝c2；②都是正整数，两者缺一不可．

【例4】有下列4组数：①7，24，25；②8，15，19；③0.6，0.8，1.0；④3n，4n，5n(n1且n为自然数)．其中，勾股数有__①④__．

【例5】将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数：__5，12，13；7，24，25(答案不唯一)__．

某些等式可以通过配方法或者因式分解法变形得出a，b，c的值，然后再根据勾股定理的逆定理判断以a，b，c为边长的三角形的形状．

【例6】如果三角形的三边a，b，c满足(a＋2b－60)2＋|b－18|＋eq\r(30－c)＝0，则此三角形的形状是__直角三角形__．

【例7】已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，试判断△ABC的形状．

解：∵a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，

∴a2－6a＋b2－8b＋c2－10c＋50＝0，即(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0，

∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，解得a＝3，b＝4，c＝5.

∵a2＋b2＝32＋42＝52＝c2，∴△ABC是直角三角形．

解决此类问题一般将条件集中在一个直角三角形中，构造全等．利用勾股定理的逆定理使问题得到解决．

【例8】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是__PA2＋PB2＝2PC2__．

【例9】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6.

(1)求证：BA⊥AD；

(2)求BC的长．

解：(1)延长AD到点E，使DE＝AD.连接CE.

∵点D是BC的中点，∴BD＝CD.

在△ABD和△ECD中，BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，∴△ABD≌△ECD(SAS)，

∴CE＝AB＝5，∠BAE＝∠E，AE＝2AD＝2×6＝12.

又∵AC＝13，∴AE2＋CE2＝122＋52＝169＝132＝AC2，

∴△AEC是直角三角形，∠E＝90°＝∠BAE，∴BA⊥AD；

(2)在Rt△ECD中，CD2＝DE2＋CE2＝62＋52＝61，

∴CD＝eq\r(61)，∴BC＝2CD＝2eq\r(61).

高效课堂教学设计

1．理解勾股定理的逆定理的证明方法