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二次函数中的等腰三角形问题

个性化教案

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式；交点式：y=a（x－x1）（x－x2），通常要知

道图像与x轴的两个交点坐标x，x才能求出

12

此解析式；对于y=ax+bx+c而言，其顶点坐

2

标为（－，）．对于y=a（x－h）+k而

b4acb22

2a4a

言其顶点坐标为（h，k），•由于二次函数的图像

为抛物线，因此关键要抓住抛物线的三要素：开

口方向，对称轴，顶点．

考点2等腰三角形的性质

1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等

边对等角”）。

2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，

底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合

一性质”）。

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3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上

的中线相等，两条腰上的高相等）。

4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的

距离相等。

5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于

顶角的一半。

6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和

等于一腰上的高（需用等面积法证明）。

7.等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形

的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的

直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

8.等腰三角形中腰的平方等于高的平方加底的

一半的平方

9.等腰三角形的腰与它的高的关系

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直接的关系是：腰大于高。间接的关系是：腰

的平方等于高的平方加底的一半的平方。

考点3相似三角形的性质

1.相似三角形对应角相等，对应边成正比例。

2.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中

线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）

的比等于相似比。

3.相似三角形周长的比等于相似比。

4.相似三角形面积的比等于相似比的平方。

5.相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都

和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比

的平方

6.若a/b=b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例

中项

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7.c/d=a/b等同于ad=bc.

8.不必是在同一平面内的三角形里

（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例.

（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和

对应角平分线的比都等于相似比.

（3）相似三角形周长的比等于相似比

三、例题精析

【例题1】

如图，抛物线y＝-x+x-4与x轴相交于点

2

Ａ、Ｂ，与y轴相交于点Ｃ，抛物线的对称轴与

x轴相交于点Ｍ。Ｐ是抛物线在x轴上方的一个

动点（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）。分别

过点Ａ、Ｂ作直线ＣＰ的垂线，垂足分别为Ｄ、

Ｅ，连接ＭＤ、ＭＥ。

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（1）求点Ａ、Ｂ的坐标（直接写出结果），并

证明△ＭＤＥ是等腰三角形；

（2）△ＭＤＥ能否为等腰直角三角形？若能，求

此时点Ｐ的坐标，若不能，说明理由；

（3）若将“Ｐ是抛物线在x轴上方的一个动点

（点Ｐ、Ｍ、Ｃ不在同一条直线上）”改为“Ｐ

是抛物线在x轴下