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特殊的平行四边形（基础）

责编：杜少波

【学习目标】

1.理解矩形、菱形、正方形的概念.

2.掌握矩形、菱形、正方形的性质定理与判定定理.

3.了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系.

【要点梳理】

要点一、矩形、菱形、正方形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.

要点二、矩形、菱形、正方形的性质

矩形的性质：1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

菱形的性质：1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

3.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴.

正方形的性质：1.正方形四个角都是直角，四条边都相等.

2.正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

3.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.

要点三、矩形、菱形、正方形的判定

矩形的判定：1.有三个角是直角的四边形是矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

菱形的判定：1.四条边相等的四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，

正方形的判定：1.有一组邻边相等的矩形是正方形.

2.有一个内角是直角的菱形是正方形.

要点四、特殊平行四边形之间的关系

要点五、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状

（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.

（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.

要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.

（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.

（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.

（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、矩形的性质和判定

1、如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4，则矩形对角线AC长为________．

【答案】8；

【解析】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AO＝BO．

∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°．

又∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，

∴AC＝2AO＝2AB＝8．

【总结升华】矩形的性质常用于求线段的长度与角的度数，在解题过程中应根据题目选择不同的性质来加以应用．

2、已知：平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连结AF、CE.

（1）求证：△BEC≌△DFA；

（2）连接AC，若CA＝CB，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论.

【答案与解析】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD,∠B＝∠D，BC＝AD.

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE＝AB，DF＝CD.

∴BE＝DF.

∴△BEC≌△DFA.

（2）四边形AECF是矩形.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，且AB＝CD.

∵E、F分别是AB、CD的中点，

∴BE＝AB，DF＝CD.

∴AE∥CF且AE＝CF.

∴四边形AECF是平行四边形.

∵CA＝CB，E是AB的中点，

∴CE⊥AB，即∠AEC＝90°.

∴四边形AECF是矩形.

【总结升华】要证明△BEC和△DFA全等，主要运用判定定理（边角边）；四边形AECF是矩形，先证明四边形AECF是平行四边形，再证这个平行四边形对角线相等或者有一个角是直角.

举一反三：

【变式】（?抚州校级期中）在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF=BE，

连接AF，BF．

（1）求证：四边形BFDE是矩形；

（2）若CF=9，BF=12，DF=15，求证：AF平分∠DAB．

【答案】证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形