华师大版九年级数学HS上册名师授课课件 第22章 一元二次方程 22.2一元二次方程的解法 6 课题　一元二次方程根的判别式.pptVIP

一元二次方程根的判别式

【学习目标】掌握b2－4ac＞0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根，反之也成立；b2－4ac＝0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根，反之也成立；b2－4ac＜0，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，反之也成立；及其它们关系的运用．【学习重点】b2－4ac＞0一元二次方程有两个不相等的实数根；b2－4ac＝0一元二次方程有两个相等的实数根；b2－4ac＜0一元二次方程没有实数根．【学习难点】含有字母系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的b2－4ac的情况与根的情况的关系．

情景导入用公式法解下列方程．(1)x2＋x－1＝0；(2)x2－2x＋1＝0；(3)2x2－2x＋1＝0

自学互研知识模块一一元二次方程根的判别式的推导(一)自主探究在推导一元二次方程求根公式的配方过程中，得到只有当b2－4ac≥0时，才能直接开平方，得

也就是说，只有当一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的系数a、b、c满足条件b2－4ac≥0时才有实数根，因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况．分析：观察方程(*)，我们发现有如下三种情况：(1)当b2－4ac＞0时，方程(*)的右边是一个正数，它有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根：

(2)当b2－4ac＝0时，方程(*)的右边是0，因此方程有两个相等的实数根：(3)当b2－4ac＜0时，方程(*)的右边是一个负数，而对于任何实数x，方程左边因此方程没有实数根．

(二)合作探究b2－4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，用它可以直接判断一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的情况；当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．

知识模块二一元二次方程根的判别式的应用归纳：应用：(1)不解方程，判别方程根的情况．注：先化成一般形式．(2)已知根的情况，求字母的取值范围．注：考虑二次项系数不能为0.

范例1：不解方程，判断下列方程的根的情况：(1)3x2＝5x－2；解：(1)3x2－5x＋2＝0，∵Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．

解：(2)∵Δ＝(－2)2－4×4×＝0，解：(3)4y2－y＋4＝0，∵Δ＝(－1)2－4×4×4＝－63＜0，∴原方程无实数根．∴原方程有两个相等的实数根．(2)4x2－2x＋＝0；(3)4(y2＋1)－y＝0.

范例2：求证：关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等的实数根．证明：∵Δ＝(2k)2－4×1×(k－1)＝4k2－4k＋4＝4(k－)2＋3又(k－)2≥0，∴Δ＝4(k－)2＋3＞0.∴关于x的方程x2＋2kx＋k－1＝0总有两个不相等的实数根．

展示提升1．关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为()A．m＞B．m＜C．m＝D．m＜－B

2．若关于x的方程kx2－2x－1＝0有两个实数根，则实数k的取值范围是()A．k＞－1B．k＜1且k≠0C．k≥－1且k≠0D．k＞－1且k≠03．已知关于x的方程x2＋(1－m)x＋＝0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是____．C0

4．已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＝0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)求证：x＝－1不可能是此方程的实数根．解：(1)∵关于x的方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(k＋1)2－4k2＞0，∴k＞－；(2)证明：∵当x＝－1时，方程左边＝1＋2k＋2＋k2＝k2＋2k＋3＝(k＋1)2＋2＞0，而右边＝0，∴左边≠右边，∴x＝－1不可能是此方程的实数根

对于一元二次方程：反之，同样成立！当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根.当=0时，方程有两个相等的实数根；课堂小结