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第四讲有理数综合
专题一绝对值化简
【例题1】若有理数x,y满足|x|=2,|y+1|=3,且|x+y|=x+y,求x,y的值.
【答案】x=-2,y=2或x=2,y=2.
【解析】x=±2,y=-1±3,由|x+y|=x+y得x+y>0,x=±2,y=2.
【练1.1】已知|a-1|=9,|b+2|=6,且>0,则b-a的值为().
A.-6B.-1C.-6或0D.-1或2
【答案】C.
【解析】a=1±9,b=-2±6,由>0知a,b同号,当同为正:a=10,b=4,b-a=-6;
当同为负:a=-8,b=-8,b-a=0.
【例题2】(1)若|a+1|+(b-4)2=0,则a=,b=;
(2)若|2-x|和|y+3|互为相反数,则|x|+|y|=.
【答案】(1)-1,4;(2)5.
【解析】(1)|a+1|≥0,(b-4)2≥0,a+1=0,b-4=0,a=-1,b=4;
(2)|2-x|≥0,|y+3|≥0,|2-x|=0=|y+3|,x=2,y=-3,|x|+|y|=5.
【练2.1】若|m+6|+|n-3|=0,则|m|+2n=().
A.12 B.6 C.-3 D.0
【答案】A.
【解析】|m+6|≥0,|n-3|≥0,|m+6|=0=|n-3|,m=-6,n=3,|m|+2n=12.
【例题3】(1)若a>0,则=__________,若a<0,则=__________;
(2)若ab>0,则+=__________;
(3)若abc>0,求+++的值.
【答案】(1)1,-1;(2)2;(3)3或0.
【解析】(1)a>0,==1,a<0,==-1;
(2)ab同号,当a>0,b>0,原式=+=1+1=2;
(3)abc为三正或两负一正,当为三正:原式=1+1+1=3,
当为两负一正,(++)+=-1+1=0.
【练3.1】已知a,b,c是有理数,abc<0,a+b+c=0,则的值为().
A.3B.-1C.1D.-1或-3
【答案】B.
【解析】abc为三负或两正一负,由a+b+c=0知abc为两正一负,b+c=-a,a+c=-b,
a+b=-c,原式=--=-(++)=-(1+1-1)=-1.
专题二数轴上的点
【例题4】如图,点A,B分别对应数轴上的2和-4,O为原点.若点B以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动,取A,B的中点为点C.
(1)求t秒后B,C表示的数(用含t的代数式表示);
(2)当点B运动到A右侧时,若A,C之间的距离为1,求点B运动的时间.
【答案】(1)B:2t-4,C:t-1;(2)4.
【解析】(1)C:=t-1;(2)(t-1)-2=1,t=4.
【练4.1】如图,点A,B分别对应数轴上的6和-4,若点A,B分别以1个单位长度/秒、3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动.
(1)点C对应的数为4,t秒后C为AB中点,求t的值;
(2)若t秒后,当A,B(B在A左侧)之间的距离为2个单位长度时,求t的值.
【答案】(1);(2)4或6.
【解析】A:6+t,B:-4+3t,(1)C:=1+2t,1+2t=4,t=;
(2)|AB|=|(6+t)-(-4+3t)|=|6+t+4-3t|=|10-2t|=2,10-2t=±2,2t=10±2,t=5±1.
【脑图总结】
【课后练习】
1.已知,若|a|=2,|b|=5,ab<0,则a-b=().
A.7 B.-3 C.7或-7 D.3或-3
【答案】C.
【解析】a=±2,b=±5,ab<0,当a=2,b=-5,a-b=7
当a=-2,b=5,a-b=-7.
2.若|a+π|+|b-3.14|+(c+3)2=0,则a,b,c的大小关系是().
A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a
【答案】B.
【解析】|a+π|=|b-3.14|=(c+3)=0,a=-π,b=3.14,c=-3.
3.若abc≠0,则的最大值和最小值分别是().
A.3和-3 B.3和-1 C.1和-1 D.1和0
【答案】A.
【解析】当a<0,b<0,c<0,原式=-1-1-1=-3,当a>0,b>0,c>0,原式=1+1+1=3.
4.已知数轴上有A,B,C三点,分别表示有理数-12,3,10,动点P从A出发以每秒1个单位的
操盘过8000万+的业务,分管过200人+团队,从分管1个部门到同时分管5大部门,不断扩大影响力。我将个人心得总结为了方法论,截止2023年8月已有效辅导76人突破职位瓶颈,年薪突破30万、50万、80万。
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