量纲分析模型.docx

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量纲分析法来构造模型

一、基本概念：

在表达一个物理量时，总是用数和量这两个概念在一起来度量该物理量的某种属性，因此，许多物理量都是有量纲的，例如：

质量的量纲是：克（g）；千克（kg）速度的量纲是：厘米/秒；公里/时热量的量纲是：卡

def：量纲：在对物理对象进行分析时用来表示物理特性的量称之为量纲，例如：长度、密度、速度等。

用数学公式描述一个规律时，等号两端都必须保持量纲的一致。

def：量纲分析：在量纲一致的原则下，分析物理量之间关系的一种方法称为量纲分析。例如：用数学公式描述一个物理规律时等式两边必须保持量纲的一致，同时也保持单位的一致。

def：量纲分析法：用量纲分析法来建立数学模型的一种方法。

def：基本量纲：在物理学或力学中有一些物理量的量纲是基本的，其他物理量的量纲可以由这些基本量纲推导出来，这些基本的量纲叫基本量纲，例如：

力学中基本量纲为：m（质量），l（长度），t（时间），分别记成：[M]，[L]，[T]，其他量纲可由此推出来。例如：速度 [V]?[LT?1]；加速度 [a]?[LT?2]，力

[f]?[M]?[a]?[M][LT?2]?[MLT?2].

mm

有些物理常数也有量纲，例如：万有引力定律 f?K

也可推出来：

1 2 中的引力常数K的量纲

r2

[MLT?2]?[K][m2L?2]

?[K]?[M?1L3T?2]?[M]?1[L]3[T]?2

def：无量纲常数?，记为[?]?1,(?[?]?L0M0T0)

二、量纲分析法建模的例子：

先从实例讨论出发，再给出一般方法。

l例1：单摆运动模型：

l

已知：质量为m的小球，系在长为l的线的一端，重力F?mg作用下作简谐运动，

求：单摆运动关于周期t的模型。

解： 1：将可能与t有关的物理量m,l,g用关系式

t??(l,m,g) （1）

表示出来。

2．用量纲分析法来确定?

假定（1）的形式表示为

12t??l?m?

1

2

g?3 （2）

其中?：无量纲比例系数，?

i

(i?1,2,3)为待定常数。

则（2）的量纲表达式为：?都用基本量纲表示：

12[T]?[L]?[M]?

1

2

[LT?2]?

3?[L]???[M]?[T]?2?

3

1 3 2 3

由等式两边量纲一致的原则可知：

1????? ?0

1

?

?3

?

? ?0

???2?2 ?1

?

3

有唯一解： ?

1

?1, ?

2 2

?0, ?

3

??1

2

（3）

lg将（3）代入（2）有： t?

lg

此与力学定律得到结果是一致的。

说明：1）为什么（1）式要以（2）特殊形式出现，而不出现三角函数、指数函数、对

数函数?，这是因为：如果某些物理量如x,x,?出现如下形式的函数关系：

1 2

sin(x?x?

), ex?1x?2, ?，则x?x?

必须是无量纲的。（因为是三角函数角度数），因而

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

sin(x?x?

), ex?1x?2, ?都是无量纲的，则不能用量纲分析方法得到模型形式（或者说：这

1 2 1 2

1 2

些无量纲的量都包括在无量纲比例系数?中去了）（因而量纲分析法无法得到无量纲量的具体形式）。

2）一般说来，单摆作简谐摆动应考虑小球偏离平衡位置的初始角度?，但因他是无量

纲量，所以它的影响可反映在系数?内，即为?(?)，用更精确方法知道，?(?)是以?为参量的第一类椭圆积分，当?很小时，其值近似等于2?。

例2：利用量纲分析法：从万有引力定律中推出开普勒第三定律，即，行星运行周期T

的平方与其椭圆轨道长半轴的三次方成正比，即：T2

?kl3，或T2

?l3

已知：设行星运动周期t，椭圆轨道长半轴为l，太阳行量的质量为m，万有引力常数

K.

求：运行周期t的关系式（模型）。

解：

设周期t，长半轴l，太阳行星质量m，万有引力常数K之间关系为：

?(l,t,m,k)?0 （1）

为使用量纲分析方法将（1）写成

l?t?m?K?

1 2 3 4

?? （无量纲常数，不是圆周率） （2）

对（2）式量纲分析得量纲表达式为：

12[L]?[T]?

1

2

[M]?

[M?1L3T?2]?

?[L]0[M]0[T]0 （3）

34据等式两边